【ข้อความสำรอง】線形代数について話そう
明
明日香.la
@すくーびー
@すくーびー (1,1)成分と (2,2)成分の条件から
a = cos(α), b = sin(α)
c = cos(γ), d = sin(γ)
を満たす，実数 α, γ が存在します．さらに，(1,2)成分（または(2,1)成分）の条件から
2020-01-03 10:51
す
すくーびー
なるほど、成分表示はわかりました！わかりやすいですね、ありがとうございます。
問題文がθなんですけど、どうやってθに結びつけたらいいですか？
2020-01-03 12:56
明
明日香.la
@すくーびー
@すくーびー 前述の議論から
α - γ = (n+1/2)π (n:整数)
が分かったので，α と γ の内，γ を消去することができます．すなわち，
A
= ⎡a b⎤
⎣c d⎦
= ⎡cos(α) sin(α)⎤
2020-01-03 18:06
明
明日香.la
最初に θ を用いずに α, γ で書いておくと置き換えのときにスムーズに移行できる（代入するだけ）ので，そう書きましたが，最初から θ で置いても書き方が面倒になるだけで数学的な内容としては変わりませんね、、、
2020-01-03 18:08
明
明日香.la
特に (ii) の最後の書き換えのように，回転角をずらしても同じ行列の集合を与えるので，設問の形にしたければ帳尻を合わせないといけませんね～
2020-01-03 18:09
す
すくーびー
長文で説明ありがとうございます！とてもわかりやすくて助かります！
2020-01-03 19:41
明
明日香.la
@すくーびー
@すくーびー どういたしまして✨
2020-01-03 19:42
ゆ
ゆうか
よろしくお願いします
2020-01-03 22:33
す
すくーびー
cos(α-γ)=0
の時、
α-γ=(n＋1/2)π
だと、n:・・・,-4,-2,0,2,4,・・・
じゃなくて大丈夫なのですか？
単純にn:整数でいいのですか？
2020-01-03 22:38
明
明日香.la
@すくーびー
@すくーびー 例えば，n = 1 のとき，
α - γ = (1+1/2)π = 3π/2
です．それから，
cos(α - γ) = cos(3π/2) = 0
なので大丈夫ですよ～
2020-01-03 22:45
明
明日香.la
@ゆうか
@ゆうか よろしくお願いします
2020-01-03 22:47
明
明日香.la
表記の解釈ですね！
紛らわしい書き方ですみません汗
2020-01-03 22:49
す
すくーびー
すみません、
(n+1)/2
と勘違いしていました。
n+(1/2)
ですね。
2020-01-03 22:49
明
明日香.la
そうです
n + 1/2 = n + (1/2) です
2020-01-03 22:50
す
すくーびー
わかりました！ありがとうございます！
2020-01-03 22:51
R
Ryo
すみません。
行列の参考書選びで悩んでいるのですが、
2020-01-04 21:12
明
明日香.la
@Ryo
@Ryo マセマですかね
2020-01-04 21:27
ゆ
ゆき
私もマセマ推しです
2020-01-04 21:32
R
Ryo
ありがとうございます！
マセマ購入しました^ - ^
2020-01-04 21:53
神
神奈川大学
頑張れば1週間で読み終われるし最高ですよ
2020-01-04 21:54
神
神奈川大学
演習量は少ないですが
2020-01-04 21:55
明
明日香.la
マセマは演習書も出していたと思いますね
2020-01-04 22:29
の
のほほん
@明日香.la
@明日香.la 出してますよ。適宜改訂もなされてます(^-^)
2020-01-04 22:54
カ
カルティベート
別に直交行列以外でも対角化できることありますよね
2020-01-05 01:20
カ
カルティベート
対称行列って必ず直交行列によって対角化可能って定理ありますけど
2020-01-05 01:20
だ
だりおれい
線形代数のthe matrix cookbookって日本語版ないんでしょうか？
2020-01-05 08:29
す
すくーびー
@明日香.la
@明日香.la
⎡－sin(θ) cos(θ)⎤
⎣ cos(θ) sin(θ)⎦
= ⎡0 1⎤ ⎡ cos(θ) sin(θ)⎤
⎣1 0⎦ ⎣－sin(θ) cos(θ)⎦
この変形
2020-01-05 10:30
な
ないしょ
ないしょがオープンチャットのノートをシェアしました。
2020-01-05 10:58
な
ないしょ
@すくーびー
@すくーびー
0 1
1 0
2020-01-05 10:58
な
ないしょ
@すくーびー
@すくーびー 詳しくは
こちらにまとめてあるので
ご参照ください.
2020-01-05 10:59
a
a!
(②)も教えてくださいませんか？
2020-01-05 13:18
Y
YK（高3）
@a!
@a!
リプライ先の問題ですね！
ケーリー・ハミルトンより
A²+A+E=O (零行列)
が成り立つので，整式の割り算を行なって
f(A)=A¹¹+A⁷-2E
=(A²+A+E)(A⁹-A⁸+A⁶-A⁴+A³-A+E)-3E
=-
2020-01-05 13:31
a
a!
@YK（高3）
@YK（高3） 2を2Eにしても良いのですか？ すいません😣💦
2020-01-05 13:49
Y
YK（高3）
画像の「注」参照
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%
2020-01-05 13:54
明
明日香.la
@ないしょ
@ないしょ さん、補足ありがとうございます
2020-01-05 14:34
あ
あ
これ分かりますか？
2020-01-05 15:10
c
coulomb
（2）が分からないのでどなたか教えていただけませんか？
2020-01-05 15:25
c
coulomb
スキャンが雑で申し訳ありません
2020-01-05 15:25
c
coulomb
ちなみに（1）の答えです。固有値に対する固有ベクトルです。
2020-01-05 15:28
な
な
固有ベクトルを求める途中式を教えて頂きたいです🙏🏻
2020-01-05 15:37
あ
あ
正規直交のやつです。
2020-01-05 15:59
す
すくーびー
ありがとうございます。！
2020-01-05 16:09
な
ないしょ
(胃腸炎なので返信遅れます)
2020-01-05 16:12
な
ないしょ
@coulomb
@coulomb
とりあえず一番下に
書いてるf(x,y,z)を
計算してみてください.
2020-01-05 16:12
が
がーゆが
お大事に...
2020-01-05 17:42
お
おぐえもん
上の画像の通りです
2020-01-05 17:43
ブ
ブタクサ
(語彙力乏しくて申し訳ないです
2020-01-05 17:47
ブ
ブタクサ
固有値が3つほど出てきてそのうちの一つに対応する固有ベクトルが(0,0,0)になることってありますか
2020-01-05 17:47
ア
アマネ
そもそも固有ベクトルの定義に「０ベクトルでないこと」というのがあるので(0,0,0)になることはないですね
2020-01-05 17:50
ブ
ブタクサ
計算間違えてるっことですねﾋｴｪ
ありがとうございます😭
2020-01-05 17:51
な
な
ありがとうございます😭🙏
2020-01-05 18:13
ア
アマネ
いえいえです！
2020-01-05 18:14
明
明日香.la
@あはは
@あはは こちらのリプライ先です
2020-01-24 23:39
あ
あはは
@明日香.la
@明日香.la 基底って、1つのベクトルでもいいってことですね？？そこがわかってなくて、もう1つは何があるんだろうって思ってました。ありがとうございます！
2020-01-24 23:42
明
明日香.la
@あはは
@あはは そうですね！基底を構成するベクトルの本数が次元であり，今回は 1次元 です
また，座標空間上は
原点を通る直線
になっていることからも分かります
2020-01-24 23:46
明
明日香.la
@あはは
@あはは どういたしまして～
2020-01-24 23:47
あ
あはは
なるほど！丁寧にありがとうございます！！！
2020-01-24 23:47
明
明日香.la
@ひ
@ひ 代数的に示すには，やはり連立方程式
⎰ax₁ + by₁ = 1
⎱cx₁ + dy₁ = 0
⎰ax₂ + by₂ = 0
⎱cx₂ + dy₂ = 1
の解が存在しないこと，すなわち，
⎡a b⎤ ⎡x₁ x₂⎤ = ⎡1
2020-01-24 23:58
明
明日香.la
ちなみに，右逆行列であれば，左逆行列でもあることの証明には余因子行列による構成が可能なはずです（記憶を頼りに、、、）
2020-01-25 00:00
莉
莉音
行列の次数による帰納法とかでも証明できますね
2020-01-25 00:08
明
明日香.la
@莉音
@莉音 この辺り，線形代数のテキストでは省略されていることが多くてよく分かっていないのですが，どのような方法でしょうか
2020-01-25 00:10
莉
莉音
XA=Eを仮定したときにAが正則であることを主張しています。
逆行列の一意性は既に示してあります。
2020-01-25 00:15
莉
莉音
途中まで打ってたのですが、長くなりそうなので、手持ちの本の写真を載せます。
2020-01-25 00:15
莉
莉音
証明の途中にある
[2.2](p.42)
も載せておきます
2020-01-25 00:17
莉
莉音
就寝しますヾ(･ω･`)ﾊﾞｲﾊﾞｲ
2020-01-25 00:19
明
明日香.la
@莉音
@莉音 ありがとうございます！勉強になります
2020-01-25 00:20
ひ
ひ
ありがとうございます🙇🏻♀️🙇🏻♀️
助かりました🙇🏻♀️🙇🏻♀️🙇🏻♀️
2020-01-25 00:30
丹
丹生
@明日香.la
@明日香.la
2020-01-25 01:11
丹
丹生
やっぱりよくわからないです、そもそもやってることが違うのですかね？
2020-01-25 01:12
明
明日香.la
@ひ
@ひ どういたしまして✨
2020-01-25 01:14
明
明日香.la
@丹生
@丹生 答えはやはり
A = ⎡ 7 3⎤ であっていますね
⎣18 7⎦
2020-01-25 01:15
ア
アアア
2(1)の基底をこのように計算してはダメですか？
2020-01-25 01:28
明
明日香.la
@丹生
@丹生 さんの書き方を採用するとこうなりますね（行列で書いた方が速いですけれど、、、）
ピンポイントでミス（？）を指摘すれば
f(ᵗ[k, l]) = f(k ᵗ[2, -5] + l ᵗ[-1, 0])
のところが誤りです
2020-01-25 01:29
明
明日香.la
もし，この計算を進めるのであれば
f(ᵗ[k, l]) = f(k ᵗ[1, 0] + l ᵗ[0, 1])
でないとならないので（答えに ᵗ[2, -5], ᵗ[-1, 3] が条件として使われていないということは，そもそも右下の解法における
2020-01-25 01:34
明
明日香.la
@アアア
@アアア x₂ について解き，
x₂ = (1/2)x₁ - (1/2)x₃
としても勿論あっていますよ
また，
x₁ = 2c₁, x₃ = 2c₃
とおき，係数の (1/2) が消えているので見やすくてよいですね
2020-01-25 01:37
丹
丹生
@明日香.la
@明日香.la ありがとうございます、再度確認して復習してみます
2020-01-25 01:53
ア
アアア
写真のような答えでもいいってことですか？
2020-01-25 01:55
ア
アアア
こたえの(-2,1,0),(1,0,1)と比較したら(-2,1,0)は係数が違うだけですが(1,0,1)は全然違いますけど
2020-01-25 01:57
明
明日香.la
説明が難しいですけど、、
2020-01-25 01:59
明
明日香.la
－1倍と足して2で割ったものが模範解答と一致するので同じ部分空間です
2020-01-25 01:59
明
明日香.la
基底の取り方はいくらでもあるので答えは無限にあり得ますね
2020-01-25 02:00
ア
アアア
ありがとうございます
2020-01-25 02:01
明
明日香.la
@アアア
@アアア 列基本変形(画像参照)で
(アアアさんの基底) ↦ (模範解答の基底)
と移せるため，（座標成分の取り方が変わってきますけど）生成する部分空間そのものは同一ですね
2020-01-25 02:12
明
明日香.la
ここの説明を詳しくしたものが↑の画像です
2020-01-25 02:13
明
明日香.la
@ふらーれん
@ふらーれん 行基本変形後の(2,3)成分は -λ² ではなく
-1-λ²
ですね（訂正）
ちなみに，固有方程式は
λ⁴ + 44λ² + 4 = 0
であり，固有値は
λ² = -22 ± 4√30
λ = √2 √((-11
2020-01-25 03:27
明
明日香.la
@ふらーれん
@ふらーれん 虚数解として得られた固有値に対しても固有ベクトルは求まりますよ🎵
2020-01-25 03:28
っ
っfx
この7(2)の最後の式の意味を教えて欲しいです
2020-01-26 23:49
っ
っfx
ここの最期の、、、
2020-01-26 23:49
っ
っfx
これが表現行列の定義みたいなんだけど上の写真の式には［b1 b2 ... bm］が見当たらなくて、、、
2020-01-26 23:50
明
明日香.la
((怒涛の勢いで参加者増えましたね))
2020-01-26 23:50
ﾃ
ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ
期末の時期で…w
2020-01-26 23:53
明
明日香.la
@ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ
@ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ さんも余裕あったら答えてくださいね (*^-^)
2020-01-26 23:54
明
明日香.la
@ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ
@ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ テスト勉強ファイトです
2020-01-26 23:56
ﾃ
ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ
そうしたいのですが…俺もテストで…笑
(線形代数の勉強は終わったんで暇なら答えたい…)
2020-01-26 23:56
明
明日香.la
@っfx
@っfx 求めたいのは
基底{a₁, a₂, a₃}（送る前）
て
基底{b₁, b₂, b₃}（送った後）
に関する f の表現行列であって，状況として
a₁ = ᵗ[1, 1, 1]
a₂ = ᵗ[1, 1, 0]
a₃ = ᵗ[
2020-01-27 00:02
明
明日香.la
つまるところ，[b₁ b₂] は単位行列
2020-01-27 00:04
も
もっふ
こんな感じです、よろしくお願いします
2020-01-27 00:05
明
明日香.la
((質問に答えれば答えるほど，質問増えていきますね（汗）))
2020-01-27 00:06
さ
さえ@AsBNaY
線形代数って、高校まですごく数学得意だった人でさえ挫折する人多いらしいですよね。。。
2020-01-27 00:07
明
明日香.la
@もっふ
@もっふ もう一度，今度は第3列で第1, 2列の第1成分をはき出して0にして余因子展開してみてはいかがでしょう
2020-01-27 00:09
明
明日香.la
そのままサラスの展開してもいいですけど，2行2列までサイズダウンした方が懸命ですね
2020-01-27 00:10
t
thank you so much
高校までの内容とガラッと変わる印象があるので、サボってるとできなくなるってだけな気がします
2020-01-27 00:10
明
明日香.la
線形代数は専門用語が多いですからね（数学史的にも最近出てきた概念が多い）
微積分は高校の延長でまぁまぁできますね
2020-01-27 00:12
明
明日香.la
抽象的ですからね、、
2020-01-27 00:13
ﾃ
ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ
あと、何をしているのか捉えにくい印象…
2020-01-27 00:13
明
明日香.la
ベクトル解析を学ぼうということです（？）
2020-01-27 00:14
さ
さえ@AsBNaY
多変数の微分積分や微分方程式とコラボさせると分かりやすかったりしますね。。。
2020-01-27 00:14
さ
さえ@AsBNaY
それもありですね笑
あとは、高校数学3でやる2次曲線を回転させたりとか
2020-01-27 00:15
明
明日香.la
@La
@La flor 対称移動はx軸（または y軸や 直線 y = x）に関して行うときれいなので，
①まず， x 軸に関する対称移動を行う（向きが合う）
②次に，もともと対称移動をする予定だった直線 y = √3 x と x 軸とのなす角 θ の「2
2020-01-27 00:18
p
poyo
遅くなりました。なんとか出来そうです。
本当にどうもありがとうございます。
2020-01-27 00:27
ち
ちー
しかくごばんわかる人いたら教えてほしいです…
2020-01-27 00:35
明
明日香.la
@poyo
@poyo それはよかったです！どういたしまして✨
2020-01-27 00:42
明
明日香.la
@La
@La flor ↑図的にいうとこうです
① x 軸に関する対称移動
② 原点中心 2θ 回転移動
を合成してみてください
2020-01-27 00:43
明
明日香.la
@ちー
@ちー 固有方程式
det(A - λE) = 0
を解き固有値を求めたら，各固有値に対する固有ベクトルを求めてみてください
（途中計算があればupしてもらえますでしょうか）
2020-01-27 00:50
L
La flor
返信が遅くなってしまい申し訳ありません
図のイメージがとても分かりやすく、答えに辿り着くことができました
2020-01-27 01:00
明
明日香.la
@もっふ
@もっふ 具体的な計算をしてみました（↑の画像参照）
2020-01-27 02:31
c
cocoa
(5)について、線形写像かどうかという問題なのですが、分からないので教えてほしいです🙇♀️
答えは、線形写像でした。
2020-02-04 21:41
明
明日香.la
@cocoa
@cocoa 多項式を
ax + b
= [1 x] ᵗ[b, a],
(a - 2b)x - 3a + 2b
= [1 x] ᵗ[2b - 3a, -2b + a]
= [1 x] M ᵗ[b, a]
(M = ⎡ 2 -3
2020-02-04 22:01
な
ないしょ
φ(x) = 〈a,x〉とすると,
φ(αx) = 〈a,αx〉
= (α*) 〈a,x〉
= (α*) φ(x), ですよね.
どうやったら,
Scalar倍の線型性を
成立させることができますか?
2020-02-04 22:37
な
ないしょ
(僭越ながらこれを見せるべきか
分かりませんけど... 🤔)
2020-02-04 22:44
c
cocoa
ありがとうございます！！🙇♀️
2020-02-04 22:49
さ
さえ.AsY
@ないしょ
@ないしょ 私の持っている本にはこのように紹介されてました。
(3)の、2式目にあたるものですね。
2020-02-04 23:05
さ
さえ.AsY
((今夜はこちらでお世話になるかもしれない私です))
2020-02-04 23:06
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY (3)式ですね
2020-02-04 23:09
さ
さえ.AsY
実数バージョンだとこれなんですよね。。。
2020-02-04 23:14
さ
さえ.AsY
((当たり前すぎてすみません))
2020-02-04 23:15
さ
さえ.AsY
和について閉じるんでしょうか。。。
2020-02-04 23:17
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY 和については
簡単に閉じるんですよね...
φ(x+y) = 〈a,x+y〉
= 〈a,x〉 + 〈a,y〉
= φ(x) + φ(y)
2020-02-04 23:23
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY ノルム空間の
体をℂにあえてしているんですが,
この前のところで,
Hahn-Banachの定理を
やっているので,
ℝ上のノルム空間で
やってることはすべて
ℂ上でも正しいことには
一応なってるんですよね...
2020-02-04 23:25
な
ないしょ
(それを使えということなのか
どうなのかはなにも一切
触れられていないし
α∈ℂ なのか α∈ℝ
としているのかさえ
省略されて書かれていないので
なんともいえませんが...)
2020-02-04 23:26
さ
さえ.AsY
とりあえず、素直にやってみるとこんな感じでしょうか？😌
2020-02-04 23:29
さ
さえ.AsY
式の形を見てるかぎりでは写真のように示される気がしますね
2020-02-04 23:37
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY そうなんですよ.
わたしはこれが気に食わなくて
質問したんです...
なぜφ(αx) = αφ(x)に
できないのかと
駄々をこねてしまいます...
2020-02-04 23:38
さ
さえ.AsY
a に α がかけられてりゃ
問題ないんですけどね。。。
2020-02-04 23:39
な
ないしょ
(頭をかかえてしまっています...)
2020-02-04 23:41
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY そうなんですよ!
2020-02-04 23:41
さ
さえ.AsY
写真の③式がネックですかね😌
2020-02-04 23:47
さ
さえ.AsY
①はいわゆる
内積から導かれたノルム
ってやつです
2020-02-04 23:48
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY あとは,
色々と見返してみると,
あえて線型作用素のところで,
(αφ)(x) = αφ(x) という
作用素自体のスカラー倍を
定義できているので,
(αφ)(x) の形さえ
どうにか作り出すことが
できれば良いん
2020-02-04 23:49
さ
さえ.AsY
α*＝α
ですと、
αは実数になりますね
αが複素数では、写真のようになっちゃいますので。。。
2020-02-04 23:52
さ
さえ.AsY
省略されているところをみると、演習的な理解をしながら読んでいけということなのか。。。
だからあえてふせているのか。。。
((あるあるだったり))
2020-02-05 00:06
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY あ!!
解決しました!!!!!
φ : x'↦〈x,x'〉と
定義していて,
x'(x) = 〈x,x'〉と書く
お約束をしているので,
φ : x'↦〈x,x'〉は,
φ : x'↦x'(x) と書くことが
2020-02-05 00:07
さ
さえ.AsY
これだったんですね😊
2020-02-05 00:11
な
ないしょ
@さえ.AsY
@さえ.AsY
f(x) = 〈x,f〉と書く
お約束を忘れてただけでした...
f(x) = 〈x,f〉は思いつくけれど,
〈x,f〉 = f(x) は
思いつきにくかった
っていうだけでしたw
2020-02-05 00:12
さ
さえ.AsY
x'(x) = 〈x,x'〉と書くのは
知らなかったでした、。。。
2020-02-05 00:13
さ
さえ.AsY
この記述、微分幾何学とかでも見たことありますね😊
2020-02-05 00:14
京
京
すいませんありがとうございますm(__)m先に1列目を0にするんですね
17:29 しもばちまりこが参加しました。
2021-06-29 17:26
H
Hakuto
方法多様ですが、第一行あるいは第一列にゼロを多く並べるのが定石だと思います。
2021-06-29 17:31
京
京
わかりました！ありがとうございますm(*_ _)m
20:31 ぽにょが参加しました。
2021-06-29 17:42
K
Kenji
|A B|
|B A|
=|A+B||A-B|という公式を使うと驚くほど早く解ける事があります。
2021-06-29 21:56
ま
まん
この式変形がわかりません。
どなたか教えて頂きたいです
2021-06-30 23:03
1
1234@
よいんしてんかいかな？
2021-06-30 23:10
K
Kenji
普通に、(2,2)要素の余因子展開です！
2021-06-30 23:48
ま
まん
ありがとうございます
2021-07-01 00:18
s
solvable
独り言です
11:33 ワリオが参加しました。
2021-07-01 01:11
s
solvable
行列から係数体（or 環）への写像Fで、多重線形性と交代性を持つものは行列式のスカラー倍しかないことはよく知られていますが、ブロック対角行列のFによる像とブロック対角成分のFによる像の積は一般には一致しません。しかし行列の成分を"可換環"で考えて、Fにさら
2021-07-01 01:11
ワ
ワリオ
急で申し訳ないんですが、これ教えてほしいです
2021-07-01 11:33
ワ
ワリオ
こんにちは
2021-07-01 11:33
ま
まひろ
何が分からないのですか？
2021-07-01 12:59
L
Lee
なぜこのように表せるのかわかりません
2021-07-01 13:51
ま
まん
2枚目の簡約した
100
001
000
から
x=0
y=s
z=0
になる理由がわかりません
2021-07-01 14:48
K
Kenji
2枚目の簡約した
100
001
000
は、
1x + 0y + 0z = 0
0x + 0y + 1z = 0
0x + 0y + 0z = 0
と読めます、これを解くと、x, z は0確定。yはなんでもよくて、sとしてます
2021-07-01 14:54
む
むむ
これどうやって解けばいいですか
2021-07-01 20:31
む
むむ
普通は左から基本行列を掛けるんですよね？
2021-07-01 20:36
ね
ねこ
別に右からかけても大丈夫だと思いますよ。
左から基本行列を掛けると、列に関する基本変形に対応しますし、右からかけると行に関する基本変形に対応しますので。
間違えてたらすみません🙇♂️
2021-07-01 20:47
む
むむ
定義に基づいて解けって言われてるので回りくどい計算みたいのがあるのかなと思って
2021-07-01 20:48
む
むむ
普通に展開していくやり方分かりすか？
2021-07-01 20:48
む
むむ
この場合どうしたらいいですか？
2021-07-01 20:52
ね
ねこ
Tの定義を確認して具体的な形で書いてやって、後は行列の積を取ってやるだけでいいと思いますよ。
2021-07-01 20:52
ね
ねこ
具体的にどこが分かりませんか？
行列の積の定義ですか？？
2021-07-01 20:53
む
むむ
すいません。線形代数わからなすぎて…
2021-07-01 20:53
む
むむ
与式の展開のやり方がわからないです
2021-07-01 20:54
む
むむ
Tをどうしたらいいかが分かりません
2021-07-01 20:55
む
むむ
3✖️3の単位行列とかにしていいのですか？
2021-07-01 20:56
む
むむ
なんでもいいのですか？
2021-07-01 20:56
ね
ねこ
Tってのは基本行列の事で、（）の中の条件に従って単位行列を変形したものです。具体的な定義は教科書や講義資料をみてみてください！
行列の次数は、今右からTを掛けてるため、左の行列が2×3行列だから、行列の積の定義より3×3じゃないとだめです
2021-07-01 20:58
む
むむ
ありがとうございます
21:02 むむがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-01 21:01
ね
ねこ
すみません、これ逆でしたね。
単位行列を列基本変形するのではなく、左側の行列を列基本変形することになります。
今回の問題のように、右から（特殊）基本行列をかけた結果が、上で言ったような操作をしたことに対応すると言った意味で、普通に行列の積をとってやると
2021-07-01 21:06
む
むむ
これで大丈夫ですか
2021-07-01 21:07
む
むむ
ありがとうございます
2021-07-01 21:08
ね
ねこ
大丈夫ですよb
2021-07-01 21:08
む
むむ
@ねこ
@ねこ 何度もすいません。計算合ってますか？
21:33 つねが参加しました。
2021-07-01 21:30
ね
ねこ
大丈夫だとおもいますよー
2021-07-01 21:38
む
むむ
ありがとうございました。
2021-07-01 21:39
む
むむ
さっきの続きです
2021-07-01 21:53
む
むむ
こういう問題だったのですがATを予想するとどうなるかわかりますか？
2021-07-01 21:53
ね
ねこ
行列Aの定義はなんですか？
2021-07-01 21:58
な
なー
割り込みすみません、これのやり方教えてください
2021-07-01 22:06
え
えで
あのサイトそれくらい優秀だった気が
2021-07-01 22:07
な
なー
ちょっとやってみます
2021-07-01 22:07
な
なー
でますか？
2021-07-01 22:07
な
なー
え、うそ
2021-07-01 22:07
な
なー
いつもならぶち込んでます
2021-07-01 22:07
え
えで
計算過程も出ないですか？
2021-07-01 22:07
な
なー
計算過程書かないといけないんです…
2021-07-01 22:07
え
えで
行列計算機ってサイトにぶち込むと分かりますよ
2021-07-01 22:07
な
なー
計算過程でました！ありがとうございます
2021-07-01 22:09
え
えで
正則な条件はいっぱいあるのでテストがあるなら調べた方が良いと！
2021-07-01 22:10
え
えで
一応やり方は行列式が0じゃないことを確かめるのが1番やりやすいかと
2021-07-01 22:10
な
なー
はい！この課題今日提出なのでとりあえず課題終わったら行列式の計算の仕方調べます…笑
2021-07-01 22:13
む
むむ
自分で設定しろってことですかね
2021-07-01 22:38
む
むむ
特にないです
2021-07-01 22:38
ね
ねこ
一般にm×ｎ行列で考えればいんじゃないですかね（基本行列はｎ×ｎになる）
2021-07-01 22:42
ね
ねこ
A=（a_ij）
2021-07-01 22:44
む
むむ
これはどういうことですか？
2021-07-01 22:46
む
むむ
ありがとうございます
2021-07-01 22:48
ね
ねこ
各成分をa_12みたいに置いてやればインじゃないかなって意味で書いただけです
2021-07-01 22:48
む
むむ
最初の式だけ書いてもらってもいいですか？
2021-07-01 22:49
む
むむ
ありがとうございます！
2021-07-01 22:55
む
むむ
Tを（i.j:α）で置いても出来ますか？
2021-07-01 22:56
ね
ねこ
できますよー
2021-07-01 23:20
む
むむ
ありがとうございます！
11:15 masaoが参加しました。
14:46 加藤純一が参加しました。
16:59 やはらが参加しました。
2021-07-02 10:56
う
うぽ
@Unknown
@Unknown
2021-07-02 18:17
う
うぽ
ありがとうございます!
2021-07-02 18:18
お
おぐえもん
削除しました！
2021-07-02 18:18
1
1234@
荒し？
2021-07-02 21:18
う
うぽ
line idも貼ってあった気が
2021-07-02 21:50
1
1234@
おお…
2021-07-02 21:50
う
うぽ
仕事の宣伝でした
2021-07-02 21:50
む
むむ
これってなんて文字ですか？
2021-07-03 00:12
む
むむ
ありがとうございます！
09:21 黒姫山が参加しました。
2021-07-03 00:15
り
りょっさん
ベクトル表記のe
単位行列を表してるんだぜ
2021-07-03 00:15
ゆ
ゆーき
この行列Aの簡約化がなかなか出来なくて、コツとかって無いですか
2021-07-03 10:23
K
Kenji
いい感じじゃないですか！この調子でコツコツ。
2021-07-03 10:56
ゆ
ゆゆゆ
わかる方いますか？
2021-07-04 17:24
つ
つね
答え間違ってたら申し訳ないですが…
2021-07-04 17:57
つ
つね
最初の画像の問題はこんな感じじゃないですかね？
2021-07-04 17:57
ゆ
ゆゆゆ
@つね
@つね 答えはこれなのですが…
2021-07-04 18:13
ゆ
ゆゆゆ
答え載せるの忘れてました
2021-07-04 18:14
つ
つね
画像の答えも、まとめると
x1＝0
x2＝1
x3＝(-1+√(-3))/2＝ω
x4＝(-1-√(-3))/2＝ω^2
になるので、大丈夫かと。
ω^2+ω+1＝0を利用すればもっと綺麗に解けるってことだと思うので、画像の解き方はスマート
2021-07-04 18:23
ゆ
ゆゆゆ
ありがとうございます
2021-07-04 18:24
ゆ
ゆゆゆ
そうなんですね！なんかうまく出来なかったのでやってみます
2021-07-04 18:24
京
京
問題BがB12になるとこの式になるのがわからないです
2021-07-05 09:10
K
Kenji
なんかずれてるような？
2021-07-05 09:22
つ
つね
(-1)^(i+j)のところは省略して(-1)としました
10:05 抹茶が参加しました。
2021-07-05 09:56
京
京
あ！そこを消してから計算するんですね！すいませんありがとうございます！
10:43 まんがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-05 10:40
つ
つね
余因子について整理しておくとより良いかと思うので、画像を置いておきます。
2021-07-05 10:47
京
京
すいません！ありがとうございます！参考にさせて戴きます！
2021-07-05 11:20
印
印旛明日
l ゃ）なか
2021-07-05 16:29
L
Lina
すみません急ぎで聞かせてください！場違いですが。。
連続ではないが積分可能な関数の例を教えてください！！
2021-07-05 16:48
s
solvable
@Lina
@Lina y=1(x=0),0(else)
18:54 aが参加しました。
2021-07-05 17:06
a
a
先程グループに参加させていただいたものです。早速ですが質問したいことがあります。
一番についてなのですが、解けそうで解けません。ヒントでもいいのでお願いできませんか。
2021-07-05 18:59
L
Lina
ありがとうございますm(__)m
2021-07-05 19:04
s
solvable
@ポテト
@ポテト 偶置換の集合から奇置換の集合への全単射を作る
or
sgnが全射準同型であることを示した上で準同型定理を用いる
2021-07-05 19:31
a
a
@solvable
@solvable こんな感じでやってみたのですがどうでしょうか。ちょっと不十分な気もしますが、ほかに思いつかなかったです。
より良い回答があれば教えていただきたいです。
2021-07-05 21:10
s
solvable
@ポテトあなたの回答を読んだのですが、写像fの対応をどのように定めているのでしょうか？
@ポテトあなたの回答を読んだのですが、写像fの対応をどのように定めているのでしょうか？
2021-07-05 21:17
s
solvable
知ってるかもしれませんが、写像を定義するには、「始集合、終集合、始集合の元の行き先」の全てを決める必要があります。
2021-07-05 21:19
a
a
@solvable
@solvable 写像についてまだあまり詳しくなく、全然理解不足でした。
その点に今ははっきりと答えられるほど理解できていないのであとで調べてみます。
とすると、その他の部分は全然見当違いな事していることになっているのでしょうか？もしそうならばど
2021-07-05 21:31
s
solvable
@ポテト
@ポテト 写像や単射、全射などの定義を確認して、またわからないことがあれば聞いてください
2021-07-05 21:42
a
a
@solvable
@solvable 了解です。
2021-07-05 21:47
a
a
@solvable
@solvable 写像の定義について復習しました。自分がめちゃくちゃな解答を書いていたことがわかりました。
ですが、fの対応規則をどのように定めたら全単射になるのかがわかりません。
(夜中に申し訳ないです)
2021-07-06 01:34
s
solvable
@ポテト
@ポテト どのようにfを定めれば全単射になるかは自分で考えて欲しいのですが、ヒントはS_nの元も全単射であることです。
2021-07-06 01:52
京
京
この問題なんですが解き方がこんな感じになりました
2021-07-06 09:26
京
京
この先どう進めばいいかわからないです
2021-07-06 09:27
ね
ねこ
帰納法じゃダメですかね
ぱっと見た感じなんで間違えてたら申し訳ない
09:34 愛梨が参加しました。
2021-07-06 09:28
愛
愛梨
おはようございます☀
2021-07-06 09:34
愛
愛梨
2の(1)で
2021-07-06 09:36
愛
愛梨
ひとつ質問させてください🙇♀️
2021-07-06 09:36
愛
愛梨
これを基本行列で表せばいいのでしょうか？
2021-07-06 09:37
愛
愛梨
計算していったら、上のようになったのですが
2021-07-06 09:37
京
京
帰納法ですか…やってみます！ありがとうございますm(*_ _)m
2021-07-06 09:46
愛
愛梨
どうでしょうか？
2021-07-06 09:49
a
a
@solvable
@solvable 色々考えてみましたが結局ダメでした
2021-07-06 10:00
ふ
ふりゅーげる
これがそのまま答えです！
2021-07-06 10:36
学
学生
質問失礼します。(3)の考え方がいまいち分かりません。Aの逆行列を余因子展開で求めれば解ける気がするのですが考え方はあっていますか？
2021-07-06 11:21
s
solvable
@ポテト
@ポテト 例えばですが、こんな感じでfを作ります。この場合、全単射であることを示すには逆写像を構成した方が早いです。
2021-07-06 11:29
a
a
@solvable
@solvable なるほど。gを考える方法があったのですね。このやり方は全単射を示す問題で使われてるのをちょくちょく見かける気がします。勉強になりました。ありがとうございます。
全射と単射を別々に示す方法を考えてみたいと思ったのでまた連絡させてくだ
2021-07-06 12:18
紐
紐靴鉄
1-(3)
(A^{-1}が整数係数行列→k=1の証明)
detA, detA^{-1}が共に整数でないといけないことから, |detA|=1が分かります. (1)の計算より, そうなるkは1のみです.
2021-07-06 12:21
学
学生
こういうことですか？
det使ったり使わなかったりでややこしくてすみません。
2021-07-06 13:22
紐
紐靴鉄
合っていると思います！
一般的な問題として、
成分が全て整数の正則行列Aについて、逆行列A^(-1)の成分もすべて整数であるためにはdetA＝±1であることが必要十分条件です。
2021-07-06 15:07
学
学生
納得しました！分かりやすい説明ありがとうございます🙇♂️
20:27 ritsuが参加しました。
20:28 画像
20:30 ritsuがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-06 15:21
ゆ
ゆみ
解答冊子を無くしてしまい答え合わせが出来なくなったので、解答例お願いします。🤲
2021-07-07 00:25
ﾃ
ﾃﾞﾘﾝｼﾞｬｰ
解いたのを貼るのがいいと思いますよ。(合ってるか見てもらう)
わざわざ解いてくれる方はなかなかいないかと。
2021-07-07 14:52
a
a
問題演習をしたいのですが、金欠ですぐに問題集を買うことが出来ません。テストも近いのですぐに勉強ん始めたいのですが、オススメのサイトなど教えていただけませんでしょうか。
線形代数だけでなく微積分も勉強したいです。
2021-07-07 15:13
抹
抹茶
私も現在使用している問題集の解答が貧弱なので教えて頂きたいです
15:38 ちゃちゃが参加しました。
2021-07-07 15:24
つ
つね
参考書などは古本で買うのも良いと思います！以前使っていた方のメモなどが書いてあったりするのですが、意外とそれが役立つときもあるので。
あと、YouTubeで「線形代数」などで検索すると、いろんな方が授業動画を出されているのでいいかもしれません。たまに
2021-07-07 16:42
a
a
@つね
@つね 古本いいですね。大学周辺に古本屋がたくさんあるので今度探してみます。
ありがとうございます。
17:01 ケーキハウスが参加しました。
2021-07-07 16:46
0
00hakom
すみません、下記問題について、類題を参考にしながら解いたのですが、やっているうちに、何をどうすると示せたことになるのかわからなくなり、方向性や、間違っているところを教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。
2021-07-09 15:54
0
00hakom
自分の回答が以下です↓
これだと、各条件を証明しただけで、必要十分であることを示せてないように思っています。
2021-07-09 15:56
0
00hakom
以上です。よろしくお願いいたします。
2021-07-09 15:58
r
radiation
線形代数を最近学び始めた者です
2021-07-10 00:13
r
radiation
字が汚くてすいません。
我ながら美しくできたと思うのですがご意見いただければ嬉しいです。
2021-07-10 00:15
愛
愛梨
@radiation
@radiation どんな意見を求めているの？
2021-07-10 00:16
r
radiation
もっとこうしたほうがいいんじゃない？的なやつです
2021-07-10 00:17
r
radiation
ここがうつくしくないねー的なやつです
2021-07-10 00:17
r
radiation
字が美しくないとかやめてください笑
2021-07-10 00:18
r
radiation
証明方法が解答と違っていたので心配になりました
2021-07-10 00:18
愛
愛梨
私には厳しいようです
2021-07-10 00:35
ま
まひろ
c＝axとなるxが取れない時はどうするのですか？
2021-07-10 00:53
r
radiation
@まひろ
@まひろ ｃ＝axとなるようにxを定義したらだねですかね？
2021-07-10 00:57
r
radiation
@愛梨
@愛梨 大丈夫です！
2021-07-10 00:57
ま
まひろ
いや、ダメではないです
例えばc＝axと取れる時と取れない時で場合分けしたらいいと思います
2021-07-10 00:58
ま
まひろ
具体的にはc≠0、a=0の時
2021-07-10 00:59
r
radiation
なるほど！
やってみます！
ありがとうございます！
2021-07-10 01:00
愛
愛梨
ごめんなさいm(_ _)m
2021-07-10 01:07
r
radiation
いえいえ
発言が抽象的だったので詳しく言えました感謝です
02:10 konyが参加しました。
11:22 umeが参加しました。
2021-07-10 01:10
u
ume
初めまして、以下の行列について、もしも名前などご存知の方がいらっしゃいましたら、教えて頂きたいです。汚い文字で申し訳ないです。
2021-07-10 12:01
u
ume
⬆院試によく出てて、その性質などを勉強したくて、調べるために名前をお伺いしたいと思い質問させて頂きました。
2021-07-10 12:03
K
Kenji
Toeplitz ではありますね。
2021-07-10 12:13
u
ume
@Kenji
@Kenji さん、リプありがとうございます！初めて知りました。これでいろいろと調べられるので助かります！！！！ありがとうございましたm(__)m
2021-07-10 12:22
K
Kenji
b=-1/2だと、2次微分の計算になります。
2021-07-10 13:32
1
1234@
@おぐえもん
@おぐえもん 荒らし？ですかね。
2021-07-10 18:51
R
Ryo
マルチ的なやつの勧誘じゃないの？
2021-07-10 19:21
m
mah
それを荒らしって言ってるんじゃないの？
20:25 山θ3がメッセージの送信を取り消しました
2021-07-10 20:24
山
山θ3
すいません誤送信しました(汗)
2021-07-10 20:25
1
1234@
それはここでokでしたっけ
2021-07-10 21:00
u
ume
@Kenji
@Kenji ありがとうございます！それも見てみます！
2021-07-10 21:21
お
おぐえもん
削除しました！
2021-07-10 21:26
ひ
ひよこ
よろしくお願いします。
2021-07-11 11:23
ひ
ひよこ
サイトを見てきました。
一回生です。つまらない質問が多いと思いますが、よろしくお願いします。
2021-07-11 11:25
高
高木
これはどういう意味ですか?
2021-07-11 12:01
K
Kenji
Aの右辺に、x=[x1,x2…xn]^T という点列をx=x(t)という関数点列として与えると、Axによってx(t)のtによる二階微分の点列が求まるという意味で使いました。
2021-07-11 12:06
高
高木
x:R→R^n; t→x(t)=[x_1(t),x_2(t),…,x_n(t)]^T でC^2級程度の微分可能性が仮定されているという解釈で良いのでしょうか.
2021-07-11 12:57
K
Kenji
そうですね、数学的というより、工学のデータ解析や、最近のデータサイエンスでよく使われるフィルター、という文脈です。
2021-07-11 13:00
K
Kenji
あ、x_1=x(t1)という意味でした。
2021-07-11 13:01
K
Kenji
時系列にx(t)の値が並んだ列ベクトルです。
2021-07-11 13:02
K
Kenji
x:R→R; t→x(t)
x_i=x(t_i) を並べたベクトルを、x=[x_i]とする、ということでしょうか数学的な書き方が不慣れです。
2021-07-11 13:08
K
Kenji
さらにt=1,2,3..n (等間隔サンプリング)です。
2021-07-11 13:10
高
高木
なるほど, 区間を十分小さくしていけば近似的に２階微分が得られるということなんでしょうかね. 気持ちは理解できました. ありがとうございます.
2021-07-11 13:16
K
Kenji
おっしゃる通りです。物理の数値解析の領域でtoeplizがよく現れるのでした。
15:47 あのが参加しました。
16:15 ななが参加しました。
2021-07-11 13:25
く
くじ
拙い質問質問いたします
行列式が0の場合、解なしというのはどのような証明から導かれますか？？
14:19 たませんが参加しました。
2021-07-12 01:18
ど
どいやさん
？
2021-07-12 20:03
ど
どいやさん
線形代数始めたばかりでよくわかってないんですけど、最後の問題ってどうといたら赤の答えになります軽
2021-07-12 20:03
E
Ethanedi
行列の積のルールに従えば出てくると思います
2021-07-12 20:08
ど
どいやさん
わかりました！
やってみます！
2021-07-12 20:09
E
Ethanedi
書籍に載ってるでしょうし、ここ見ても載ってます
僕も最初覚えられなかったので同じですね
2021-07-12 20:10
E
Ethanedi
https://oguemon.com/study/linear-algebra/matrix-op/#toc-3
2021-07-12 20:10
ど
どいやさん
ありがとうございます！🙇♂️
2021-07-12 20:43
ど
どいやさん
わざわざありがとうございます！
2021-07-13 00:12
つ
つね
横（行）×縦（列）で覚えていくといいかもしれません！画像、わかりにくいですが参考になれば🙆♀️
2021-07-13 00:12
ど
どいやさん
理解しました！
2021-07-13 00:15
K
Kenji
少し漠然としてますね。解なし、は、何の解のことでしょう？
11:28 ポムポムプリンが参加しました。
13:19 ニワトリが参加しました。
13:19 ぺーちゃんやでが参加しました。
15:03 数学苦手が参加しました。
15:04 数学苦手がメ
2021-07-13 05:59
た
たかひさ
変形しても変形してもaを含まない形にできません…教えていただけませんか…
15:04 とくひらゆりこが参加しました。
2021-07-14 12:41
K
Kenji
a を含まない形、、、想像つかないなぁ
2021-07-14 17:05
H
Hakuto
進めるとaが14かそれ以外でrank変わるのではないですか？aが14なら代入してaが消え、それ以外なら行をa-14で割る。
2021-07-14 17:09
j
jordan
@おぐえもん
@おぐえもん
お手数おかけしますが、対応お願いします。
2021-07-14 18:34
L
Lina
Bの余因子の答え教えていただきたいです🥺
2021-07-14 18:38
L
Lina
解決しましたありがとうございました
21:45 画像
21:45 抹茶がメッセージの送信を取り消しました
2021-07-14 19:05
L
Lina
この中の一問で良いので、解説お願いいたします
11:44 日置覚が参加しました。
2021-07-15 05:07
u
ume
@Lina
@Lina
標準形への変換ですよね？調べたのですが分からなくて、愚直に計算したらこうなりました...
2021-07-15 12:21
L
Lina
ほんとにありがとうございます！！参考にさせていただきます！
2021-07-15 12:31
a
aaa
3段目からの計算がよくわかっていません、、、分かる方いらっしゃいますか?
2021-07-16 18:13
K
Kenji
このままサラスでも良いですし、(2,2)の1を使ってもう少し0を増やして余因子展開でも良いですね。
2021-07-16 18:25
さ
さっつん
https://ramenhuhu.com/math-cofactior_expansion
2021-07-16 18:30
さ
さっつん
𝑛次正方行列に対して
（ⅰ）２つの行(列)を入れ替えると、行列式は−1倍される
（ⅱ）ある行(列)を𝑐倍すると、行列式も𝑐倍される
（ⅲ）ある行(列)を𝑐倍したものを他の行(列)に加えても行列式は変わらない
特に𝑐=0を考えると、ある行または列の成
2021-07-16 18:31
さ
さっつん
行基本変形と行列式にこういう関係があるのでKenjiさんのおっしゃるように行基本変形を続けて0を増やしてから余因子展開してもいいというふうになるかと
2021-07-16 18:33
a
aaa
@Kenji
@さっつん
@Kenji @さっつん お二人ともありがとうございます。参考リンクなどともにもう一度解いてみたいと思います！
2021-07-16 18:46
む
むむ
これの解き方わかる人いますか？
2021-07-16 21:42
u
ume
行列式が0になるxを求めるといいと思います。
2021-07-16 21:45
む
むむ
行列式が0になると正則ではないのですか？
2021-07-16 21:46
u
ume
https://manabitimes.jp/math/1327
2021-07-16 21:47
む
むむ
ありがとうございます
2021-07-16 21:50
K
Kenji
行列式を求めるのですが具体的には、この問題だと4列目に0の要素があるので、4列目の1をうまく使って4列目の他の行を0にしてから余因子展開、が近道と思います。
2021-07-17 06:35
H
Hakuto
自分なら１行目の-3, -3, 3の並びを利用します。
12:29 umeがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-17 07:31
u
ume
すみません。以下の証明がわからずに困っています。
N,Mを自然数として、N>Mとする。VをN次元実ベクトル空間、WをVのM次元部分空間として、
Vの元vをWの射影行列Pによって正射影したWの元wのノルムについて、(w = Pv)
|v|≧|w|を
2021-07-17 12:34
K
Kenji
Wの正規直行基底を並べた行列(N行M列)をUとすると、P=UU^Tですよね。これを使って|w|^2を計算するといい感じな気がします。U^T U = M次単位行列を使います。
2021-07-17 13:01
u
ume
@Kenji
@Kenji ありがとうございます！書いてみます！
2021-07-17 13:10
K
Kenji
ぼくも実際には計算してないので、できたら教えて下さい！
2021-07-17 13:20
K
Kenji
あ、E=P+Qとして、Qも射影(E-P)、vを二つに分けて、三角不等式、で行けるかも！
2021-07-17 13:32
u
ume
了解しました！少々お待ち下さい！
2021-07-17 13:33
u
ume
すみません！射影行列って、P=UU^Tで表現できますか？(U = [e1, e2, ...., e_M])
P=Σe・e^T(eはWの正規直交基底)
だと思うのですが、P=UU^Tだと一致しない気がするのですが...
2021-07-17 13:44
K
Kenji
こんな感じでどうでしょう？ Q は U のことです。
2021-07-17 14:04
K
Kenji
ちょうど可視化プロジェクトやってたので抜粋です。
2021-07-17 14:13
u
ume
おおお、本当ですね！とても丁寧にありがとうございます！
2021-07-17 14:13
u
ume
行列計算にまだなれていなかったのですが、とてもわかり易かったです！ありがとうございます！
2021-07-17 14:14
K
Kenji
でも、2番のアイデア(三角不等式)だと瞬殺！
2021-07-17 14:15
u
ume
え、本当ですか？さっきトライしていてできなかったのですが...
14:18 umeがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-17 14:16
K
Kenji
斜辺が他の辺より長い。
14:25 ふりゅんが参加しました。
2021-07-17 14:23
K
Kenji
三角不等式でなくて、直角三角形の斜辺と他の一辺の関係(ピタゴラスの定理)でしたね、
2021-07-17 14:23
ふ
ふりゅん
これってどうやって解けばいいんでしょうか……？
2021-07-17 14:25
u
ume
|w| = |v|cosθということですよね
2021-07-17 14:25
ぴ
ぴの
よろしくお願いいたしますm(__)m
2021-07-17 14:26
ぴ
ぴの
この証明の仕方わかるかた教えていただきたいです。
2021-07-17 14:26
ふ
ふりゅん
ありがとうございます！
2021-07-17 14:26
u
ume
ふ
ふりゅん
多重線形性の利用で解こうとしましたが、スカラーではなく行列をかけていいものか判別しかねています
2021-07-17 14:26
ぴ
ぴの
すいません、質問なのですが、
2021-07-17 14:26
u
ume
@ぴの
@ぴの 2こんな感じでしょうか
2021-07-17 14:36
K
Kenji
cos 持ち出さなくても、|v|^2=v^T v に、v=w+w’=Pv+Qv を入れてどうでしょう。
2021-07-17 14:37
u
ume
あ！なるほど！！！ありがとうございます！要約理解することができました！時間割いて頂いて本当にありがとうございます！(三角不等式で一瞬でできてしまいました...)
2021-07-17 14:46
ぴ
ぴの
ありがとうございます！
2わかりました！
2021-07-17 14:52
u
ume
@ぴの
@ぴの
3ちょっとトライしてたんですが、すぐにはわからなかったです...ごめんなさい！
2021-07-17 14:53
K
Kenji
@ぴの
@ぴの Ux=λx の両辺に左から(Ux)†=x†を辺々掛けては？
2021-07-17 14:58
K
Kenji
@ぴの
@ぴの Ux=λx の両辺に左から(Ux)†=(λx)†を辺々掛けては？
2021-07-17 15:00
ぴ
ぴの
やってみます！
2021-07-17 15:16
K
Kenji
もし内積表記をご存知なら、を計算するとすぐ分かると思います。
22:50 スネちゃまが参加しました。
2021-07-17 17:41
ス
スネちゃま
この問題わかる人いませんか😢
2021-07-17 22:51
ふ
ふりゅん
実際に逆行列を求めて整数になるように絞ればいいと思います！
2021-07-17 22:52
ス
スネちゃま
逆行列は掃き出し法で求めますか？
普通に掃き出すと文字でかなり複雑になってしまいます...
2021-07-17 22:54
ふ
ふりゅん
吐き出し法でやるのがいいと思います…！たぶん行列式でやっても値は同じになると思うので
2021-07-17 22:55
ス
スネちゃま
気合いでやってみます...
2021-07-17 22:57
ふ
ふりゅん
頑張ってください……！
2021-07-17 22:59
し
しさ
a,b,cが整数であると仮定するとその行列の余因子行列の各成分も整数になるので、その行列の行列式が±1になるような整数a,b,cを考えればいい気がします。
2021-07-17 23:11
し
しさ
@スネちゃま
@スネちゃま
2021-07-17 23:12
ス
スネちゃま
考えてみたのですがそれを満たす整数a,b,c,は無さそうでした...
2021-07-17 23:14
し
しさ
よく見たらa,b,cは整数である必要はないんですね💦
2021-07-17 23:16
ス
スネちゃま
そうなんですよね、、
ゴリ押しで逆行列出してみたのですがa,b,cのそれっぽい制約は分からないです😢
2021-07-17 23:20
し
しさ
(1,i)-余因子(i=1,2,3)を計算するといずれも3の倍数になり、
行列式は
12a+12b+5c-15a-6b-8c
=-3a+6b-3c
=3(-a+2b-c)
なので行列式が余因子を割り切ることを考えると
-a+2b-c=1または-
2021-07-17 23:45
ス
スネちゃま
やってみたのですが中々a,b,cが決定できないです😢
13:07 ゴールデンガンが参加しました。
2021-07-18 00:52
u
ume
@ゴールデンガン
@ゴールデンガン
左3列の行列をAとして、Aのランク(=rankA)を計算してください。
それで、この3x4行列のランクとrankAが等しくなるaが求めるaです。
2021-07-18 13:15
ゴ
ゴールデンガン
左三列の行列とは
2021-07-18 13:16
ゴ
ゴールデンガン
丸の中のやつですか？
2021-07-18 13:17
u
ume
はい
2021-07-18 13:18
u
ume
@スネちゃま
@スネちゃま
a=b=1として
2021-07-18 13:19
u
ume
@ゴールデンガン
@ゴールデンガン こちら参考にされるといいと思います。
2021-07-18 13:19
u
ume
https://oguemon.com/study/linear-algebra/solution/
2021-07-18 13:19
u
ume
cを求めたらいい感じになりませんかね？
2021-07-18 13:20
ス
スネちゃま
@ume
@ume cの式はできたのですがここからcを求める方法が分かりません
2021-07-18 13:50
u
ume
本当ですね...すみません。検討違いだったようです...
2021-07-18 13:56
ふ
ふりゅん
逆行列が全て整数成分⇔行列式が±1という性質が成り立つようです。(証明は簡単)
これで絞り込んでみるのはいかがでしょうか、、？
2021-07-18 14:37
ス
スネちゃま
元の行列も全て整数成分である必要があるのですが、今回の問題では全て整数成分では無いので使えないです...(整数と仮定すると矛盾する行列式の値と矛盾する)
15:04 あういが参加しました。
15:22 しょうしょうが参加しました。
2021-07-18 14:57
ふ
ふりゅん
計算地獄するしかないんですかね、、、
16:06 画像
2021-07-18 15:59
ふ
ふりゅん
あーなるほど、、、
2021-07-18 15:59
ス
スネちゃま
この9個の分数が全て整数になるようなa,b,cって存在しますか？
2021-07-18 16:07
ス
スネちゃま
a,b,cは実数です
2021-07-18 16:11
ま
まひろ
a-2b+c=1
cは3の倍数
b-2aは3の倍数
くらいが条件かな
2021-07-18 16:46
ま
まひろ
こんくらいあれば簡単な気がするけど
2021-07-18 16:47
ス
スネちゃま
a-2b+cは1/k (kは整数)だと思ったのですがどうやって1にしましたか？
2021-07-18 16:50
ま
まひろ
そうですね、1ではなかったです
2021-07-18 16:52
ま
まひろ
でも1にした方が都合がいいじゃないですか
2021-07-18 17:00
高
高木
第３列について和をとってみると…
2021-07-18 17:08
高
高木
x,yが整数→x+yが整数
ですよね．9個の分数が全て整数であるためには第3列の和が整数であることが必要ですが，どうでしょうか．
2021-07-18 17:23
ゴ
ゴールデンガン
答え
2021-07-18 17:24
ゴ
ゴールデンガン
解いてみたんですけど合ってますか？
2021-07-18 17:24
ス
スネちゃま
！
ということはa,b,cが存在しないということですね
2021-07-18 17:41
ス
スネちゃま
@高木
@高木
元はこの問題なのですが、この問題の答えは存在しないということですか？
2021-07-18 17:43
高
高木
Wolfram先生に計算してもらいましたが逆行列は合っているようです．ということで題意を満たすa,b,cは存在しないということになりますね．
2021-07-18 17:48
ス
スネちゃま
@高木
@高木
ありがとうございます！
昨日から分からなくて本当に助かりました！！
2021-07-18 17:50
ふ
ふりゅん
存在しないなんてあるんですね、、、問題が意地悪すぎるような、、、
2021-07-18 18:15
デ
デーヴァナーガリー
この証明がわからないです。帰納法でしょうか…
2021-07-18 18:51
ふ
ふりゅん
そうです！
2021-07-18 19:06
デ
デーヴァナーガリー
一番右の列で余因子展開するんですか？
2021-07-18 19:15
l
linear
Aのジョルダン標準形を求めたいのですが、途中でうまくいかないのでやり方が分かる方がいたら教えていただきたいです。
2021-07-18 20:10
u
ume
@linear
@linear
こんな感じでどうでしょうか
2021-07-18 20:37
く
くろねこ
この行列を実ジョルダン標準形にするにはどうすればいいでしょうか
2021-07-18 20:56
l
linear
ありがとうございます。参考にさせていただきます。
2021-07-18 20:57
ゴ
ゴールデンガン
これわかる方教えてください
2021-07-19 12:44
u
ume
@ゴールデンガン
https://oguemon.com/study/linear-algebra/cofactor-expansion/
@ゴールデンガン これ見るといいです。
2021-07-19 12:45
u
ume
Aを非正則な実正方行列とすると、Ax=0を満たす、ゼロベクトルでないベクトルxはAの固有値0に対応する固有ベクトルと呼ぶことは可能でしょうか？
2021-07-19 13:05
K
Kenji
です！
2021-07-19 13:07
s
solvable
@ume
@ume はい
2021-07-19 13:07
K
Kenji
核空間の元でもあります。
2021-07-19 13:08
u
ume
@solvable
@Kenji
@solvable さん
@Kenji さん、ありがとうございます！
2021-07-19 13:10
K
Kenji
（聞かれていないですが、）A の固有値をλ1,..,λmとすると、A+sEの固有値はλ1+s,..,λm+s, にシフトします。|λE-A|=0の解が固有値ということは、
2021-07-19 15:17
K
Kenji
λシフトして核空間にはいる(0になる)固有値と、(λE-A)x = 0となる (0に対応する)固有ベクトルを探していることになります。
2021-07-19 15:19
u
ume
@Kenji
@Kenji さん
初学者なので、こういう追加情報ありがたいです...!
>λシフトして核空間にはいる(0になる)固有値と、(λE-A)x = 0となる (0に対応する)固有ベクトルを探していることになります。
固有値がシフトする話は理解できたのです
2021-07-19 16:22
u
ume
https://itchyny.hatenablog.com/entry/20120416/1334577097
2021-07-19 16:24
u
ume
あ、あと以前お伺いしていた、巡回行列の話、行列式に関して、このような性質があるんですね。特に意味はないですが
2021-07-19 16:24
u
ume
リンクおいておきます
2021-07-19 16:25
K
Kenji
@ume
@ume 面白いですよねー。リンクありがとうございます。巡回行列の話以前しましたっけ？フーリエ変換との関係がすごく面白いです。この記事の３ですが、
2021-07-19 20:00
K
Kenji
@ume
@ume 面白いですよねー。リンクありがとうございます。巡回行列の話以前しましたっけ？フーリエ変換との関係がすごく面白いです。この記事の３ですが、巡回行列の元素となる巡回置換行列を考えると、この記事をもう少し分かりやすく理解できると思います。
2021-07-19 20:02
K
Kenji
伝えたいことをうまく取り出して名詞化できないのですが(その名詞を知らないので記事もない)、僕の中では「固有値」と「核空間」の2つが頭の中で繋がった、という瞬間を得た表現でした。
2021-07-19 21:08
デ
デーヴァナーガリー
この問題の解き方がわかりません。基本変形もうまくいかず、困っています…教えていただきたいです。
2021-07-20 00:03
u
ume
ありがとうございます(画像までつけて頂いて...😂)
Pの冪乗でどんどん回っていくのですね...図でより理解出来ました！
2021-07-20 07:54
s
solvable
@デーヴァナーガリー
@デーヴァナーガリー Aの左上の2×2行列の行列式を計算することにより、まずrank(A)が2以上であることがわかります。あとはdet(A)を計算することにより、rank(A)がいつ2になり、いつ3になるかがわかります。
2021-07-20 08:45
デ
デーヴァナーガリー
ありがとうございます！やってみます！
17:13 ぽぽぽぽぽんが参加しました。
2021-07-20 10:04
ぽ
ぽぽぽぽぽん
はじめまして!
分からない問題があるので教えて欲しいです！
2021-07-20 17:14
く
くろねこ
この行列の実ジョルダン標準形を求めたいのですが、どうすれば良いでしょうか、、
2021-07-20 18:44
ぽ
ぽぽぽぽぽん
ありがとうございます😭
2021-07-20 18:44
た
たみβ
余因子を日本語で言うのって言われてみると難しいですね。
サイトでは"符号付き小行列式"とあり、なるほどと思いました。
02:55 うぃが参加しました。
04:30 学徒が参加しました。
04:34 学徒がメッセージの送信を取り消しました
04:3
2021-07-21 00:24
H
Hakuto
全問丸投げですか？ 笑
2021-07-21 12:38
お
おかゆ
ふざけすぎてて草
2021-07-21 13:26
u
ume
確かに難しいですね。。
2021-07-21 13:52
K
Kenji
固有値を求めるとこまでは行きましたか？
2021-07-21 16:24
く
くろねこ
求めた結果、1つは整数解だったのですが、あと二つが虚数解になってしまいました、、
2021-07-21 16:27
く
くろねこ
λ = -1 , 2±3i、になりました
2021-07-21 16:29
K
Kenji
そこまで合ってるようです。「実ジョルダン標準形」て全ての要素が実数のジョルダン標準形なんですかね？そうするとこの時点でアウトな気がします。
2021-07-21 16:52
く
くろねこ
これは、、何か他に方法があるのでしょうか、、
2021-07-21 16:54
K
Kenji
僕にはあるように思えません。(固有値は確定ですし、ジョルダンの対角成分は固有値ですから。)
2021-07-21 17:19
K
Kenji
もしかしたら、「実ジョルダン」というのが思ってるのと違う意味なのか？！となってます。
2021-07-21 17:20
く
くろねこ
定義もよく分からなくて、、
2021-07-21 17:27
K
Kenji
なんと、調べたら、実ジョルダンは、こういうものなんですね。 http://cacsd2.sakura.ne.jp/2019/08/09/%E5%AE%9F%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%A8
2021-07-21 17:34
く
くろねこ
これ授業でも見たんですけど、よく分かりませんでした😭
2021-07-21 19:29
s
solvable
@くろねこ
@くろねこ こんな感じでしょうか？計算の部分は自分でやってみて下さい
2021-07-21 20:49
数
数学苦手
実ジョルダン標準形なんて初めて聞きました・
2021-07-21 20:51
く
くろねこ
ありがとうございます😭😭😭
もう1回定義を確認しながらやってみます！！😭
2021-07-21 20:54
u
ume
ジョルダン標準形って上三角行列だとずっと思ってましたが違う場合もあるんですね...
2021-07-21 20:54
t
tK
本格的な線型代数の講義なのでしょうね
2021-07-21 20:55
く
くろねこ
実ってつくと別物(？)なのかもしれません…
2021-07-21 20:55
く
くろねこ
自分も今回の授業で初めて聞きました…
2021-07-21 20:55
数
数学苦手
ジョルダン標準形の方が色々しやすいと思うんですが実ジョルダン標準形ってどんな場面で利用がしやすいんですかね
2021-07-21 20:55
u
ume
ちょっと脇道にそれるかもしれませんが、質問よろしいでしょうか？
ジョルダン標準形って、べき乗が計算が楽になるということしか利用方法をしらないのですが、べき乗以外の利用方法ってあったりするのでしょうか？
2021-07-21 21:02
s
solvable
@数学苦手
@数学苦手 実ジョルダンは行列の指数関数との相性がいいです
2021-07-21 21:03
数
数学苦手
あ、言われてみれば確かに・
2021-07-21 21:09
数
数学苦手
線形代数のゴールってジョルダン標準形って言われたんですけどほとんど大学がそう言い聞かされてるんですか？
2021-07-21 21:10
ま
まひろ
テンソルとかもやると思う
2021-07-21 21:13
s
solvable
@ume
@ume ジョルダン標準形というより対角部分とべき零部分の和に分解できることが私は重要だと思っていて、それを応用すると（素性のよい）リー代数という代数系の元も対角部分とべき零部分の和に分解できたりします。
2021-07-21 21:16
s
solvable
@ume
@ume もちろんジョルダンも実ジョルダンも線形微分方程式の解をきれいに表示できたりするのは嬉しい
2021-07-21 21:18
s
solvable
これだと実ジョルダンだけが行列の指数関数と仲がいいみたいですが、ジョルダンとも仲いいです
2021-07-21 21:21
u
ume
微分方程式の解の表示などに使えるのですね！ありがとうございます！
2021-07-21 21:35
K
Kenji
僕が大学生の頃はそう言われてました。最近データサイエンスや最適化、統計からの要請で、SVD(特異値分解)をゴールにするシラバスが米国では増えていると聞きます。
2021-07-22 07:35
a
a
こちらの問題4の⑴なのですがどこから手をつければ良いのかわからないのでヒントだけでもいいのでもらえませんか？
2021-07-22 16:31
t
tK
背理法ですかね、
高々n個を否定すると、n+1以上の数字の個数になる巡回の積の表示が存在するとしてどうなるか、、、
2021-07-22 16:34
a
a
ありがとうこざいます！やってみます！
2021-07-22 16:36
a
a
もう少しヒントを頂けるとありがたいです。なかなか進みません。
2021-07-22 17:19
t
tK
最短の巡回の積の長さがn+1だと、S_nに入らないことになります。
ここで矛盾を導くのだと思います
2021-07-22 17:21
a
a
ありがとうございます！
2021-07-22 18:27
a
a
問題5の⑴をわってみたのですが、もしよろしければあっているか見ていただけませんか。
2021-07-22 18:30
t
tK
もう少し説明入れた方がいいかもしれません。
ただ単にこれだけ書かれた答案を見たら確実に点が入らないでしょう
2021-07-22 18:35
a
a
これならどうですか？
2021-07-22 18:50
t
tK
そうではなく、なぜ転置の余因子が余因子の転置になってるか説明できてないですよ？
行列式に着目して示す必要があります
2021-07-22 19:32
a
a
こんな感じでしょうか？
2021-07-22 23:05
a
a
ありがとうございます！
2021-07-22 23:20
t
tK
こんな感じですね
2021-07-22 23:20
u
ume
すみません！院試の問題の1部なのですが、証明のやり方が分からなくて困っています。方針だけでも教えていただけると助かります！(答えは成立するっぽいのですが理由が分かりません)
2021-07-23 10:14
K
Kenji
AB のm個の固有値の中で、(λ=-1)の個数をkとすると、最初のrankはm-kです(Iによる固有値シフト)。このことと、ABとBAの固有値が0を除いて等しいことを使うと行けそう。
2021-07-23 11:19
u
ume
@Kenji
@Kenji さん！ありがとうございます！早速やってみます！
2021-07-23 11:30
K
Kenji
計算でやるなら、Schurの三角化(もしくはJordan)で固有値を対角に並べると良さそう。
2021-07-23 11:37
u
ume
@Kenji
@Kenji さん、ABとBAの行列のサイズが異なるのですが、これらの固有値が０を除いて等しいというのはどういう意味でしょうか？(固有値の個数も違うので等しいの意味がわかりませんでした🙇♂️)
2021-07-23 11:38
K
Kenji
m>nだとすると、m-n個は必ず0です。
2021-07-23 11:40
K
Kenji
他は一致(だと思いましたが、本で確認します)
2021-07-23 11:41
u
ume
なるほど！ありがとうございます！
お手数おかけして申し訳ないです！色々考えているのですが、0でない固有値が一致するというのがなぜそうなるのか理解できていないです...
参考にされている本など教えていただけると嬉しいです！
2021-07-23 11:43
K
Kenji
これ(55)なんかはどうですか？ https://math.stackexchange.com/q/311362
2021-07-23 11:49
u
ume
ありがとうございます！以下の等式が成立すれば、x=0がn-m重解として存在し、x=0の解が等しいことがわかるのですが、この式が成立するのは自明でしょうか？行列式の定義から計算すれば可能なのでしょうか？それとも他の方法からわかることなのでしょうか？
2021-07-23 12:17
K
Kenji
イメージとしては、ABx = λx というλ(ABの固有値)とx≠0(ABの固有ベクトル)があったとして、BA(Bx) = λ(Bx), となるのでλは、BAの固有値でもある、ということです。（ただし、Bx≠0 すなわち, xがBの零空間でなければ）
2021-07-23 12:22
u
ume
なるほと！とても理解出来ました！
2021-07-23 12:30
u
ume
Bxがゼロだった場合、ABの固有ベクトル・固有値の式に代入すると、xがゼロベクトルになって矛盾しますよね？
2021-07-23 12:32
K
Kenji
det(CD)=det(DC)の両辺を計算するとこの式が導かれます(自明ではなく行列のブロック計算)
2021-07-23 12:39
K
Kenji
こっちは、別解です。
12:54 umeがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-23 12:40
u
ume
あ、cdの行列式の方が先ですよね...ありがとうございます！
2021-07-23 13:00
K
Kenji
xでなく、Bxが0ですね。矛盾でなく自明式ねなります。
2021-07-23 13:04
K
Kenji
このxが、Bの固有値0に対応していて、前に「0以外の固有値は」と言ったときの0に対応します。
2021-07-23 13:06
u
ume
ありがとうございます！@kenji さんの教えてくださった方法で証明出来たっぽいです！丁寧にありがとうございました！
2021-07-23 13:52
K
Kenji
下から3行目のrank計算は、自明で良いですかね？
2021-07-23 14:08
K
Kenji
前半で、重複含めて固有値が等しい、ことは証明されてるのかなぁ。
2021-07-23 14:21
u
ume
あ、たしかに、固有値がランクと固有値の数の関係は言わないと行けないかmo
2021-07-23 14:23
u
ume
ですね。
2021-07-23 14:24
u
ume
重複を含めての部分は、ABの0出ない固有値が存在すれば、それはBAの固有値でもあるということが示されているので、重複があればそれらも同様にBAの固有値たりえるので問題ないかと思いましたが....
14:30 まおが参加しました。
2021-07-23 14:26
七
七瀬
どなたかこの問題の1と2教えてくださいませんか？
2021-07-23 14:43
七
七瀬
ここまで解いたんですけどここからどうすればいいかわからなくて...
2021-07-23 14:44
数
数学苦手
固有値4のときは？
2021-07-23 15:10
七
七瀬
こうなりました
2021-07-23 15:30
K
Kenji
>ABの0出ない固有値が存在すれば、それはBAの固有値でもあるということが示されているので、
ですが、
Bx=0にならない時に限って。
ではないかなぁ。
2021-07-23 15:30
ね
ねもん
f:R^3→R^3で、f^3が恒等写像となって、fは恒等写像にならないような写像の例を教えてください
2021-07-23 15:35
下
下品
f(x,y,z)=(y,z,x)
2021-07-23 15:53
K
Kenji
そのことは正しいのだけど、この証明手法では言い切れてない、の意味です。なので、前の記事の特性方程式を持ち出すか、三角化で計算するか、かなぁと思いました。あと、固有値(-1)がいくつあるか、によってrankが変わるので、多重度はどちらにせよ、持ち出さないと行
2021-07-23 16:35
u
ume
確かに....もうちょっと考えてみます！
2021-07-23 16:51
え
えど
式変形が成り立つことは理解できるのですが、再現しろと言われると厳しいです…。変形に自然な理由がないというか。
これって解法暗記しか道はないんでしょうか？
2021-07-23 16:53
え
えど
証明しろという問題です。
2021-07-23 16:54
H
Hakuto
何も条件なければ、ほぼ正解ですが、適当な直交行列で対角化する必要があるので、あと一歩。
2021-07-23 16:55
t
tK
欲しい形を作る練習問題ですよね！
解法暗記するまでもないかと
2021-07-23 16:56
七
七瀬
ありがとうございます
2021-07-23 16:59
七
七瀬
無事解決しました！
2021-07-23 16:59
K
Kenji
2次の時、ad-cb=a(d-cb/a) の類似で定着させました。
2021-07-23 16:59
H
Hakuto
良かったです。答えもあってます。
2021-07-23 17:02
え
えど
@tK
@Kenji
@tK @Kenji 返信ありがとうございます。例えば、写真の1行目の変形は、赤で書いたOさえ覚えておけば、たしかに自然な変形かもしれません。
2021-07-23 17:04
ま
まお
すみません答えあっているか教えてほしいです🙇♀️
2021-07-23 17:04
え
えど
でもやはり続きの変形が謎です…
2021-07-23 17:05
え
えど
2枚目の写真撮るとこ間違ってません？
2021-07-23 17:06
ま
まお
すみませんこっちです😅
2021-07-23 17:07
t
tK
ひたすら同じ変形を繰り返します
片方が(A,O)
(O,I)
がわかったのであれば、もう片方も分かるので、同じく変形していきます
2021-07-23 17:07
え
えど
@tK
@tK すみません、やはり緑で丸した＝はわかるのですが、赤で丸したところの変形が分かりません。もう少し詳しくご教授いただけませんか？
2021-07-23 17:11
t
tK
2×2にブロック分割した時の行列式は対角成分の差なので、それを考えると、右上が0なら、左下はなんでも良くなりますが、式変形した形が左下を0にしたいので、真ん中の行列の(2,1)成分にCを残します
2021-07-23 17:14
え
えど
ありがとうございます。これを頼りにもう少し粘ってみます🙏
17:23 頑張るおっさんが参加しました。
2021-07-23 17:15
H
Hakuto
答え合ってます。(3)の固有値は1個だけ書いて、重解と補記すれば十分かと思います。
2021-07-23 17:34
ま
まお
@Hakuto
@Hakuto ありがとうございました。
2021-07-23 17:36
a
a
問題2,3の解答をチェックしていただけませんか。
2021-07-23 17:49
a
a
問題2,4です間違えました。
2021-07-23 17:50
ま
まお
すみませんこちらはあっているでしょうか？お願いします🙇♀️🙏
2021-07-23 18:20
数
数学苦手
-8を1にしといた方がいいかも
2021-07-23 18:42
ま
まお
@数学苦手
どうやってやればいいですか？
@数学苦手
2021-07-23 18:43
K
Kenji
この問題の場合、固有値(-1)がひとつもないことが言えれば良いので、個数カウントいらないのかも、、、と思いはじめました。
2021-07-23 18:47
数
数学苦手
行基本変形をするだけ
2021-07-23 19:18
数
数学苦手
単純に-1/8にかける
2021-07-23 19:18
ま
まお
-8だけにかければいいのですか？
2021-07-23 19:19
数
数学苦手
4行目にかけるだけ
2021-07-23 19:20
u
ume
たしかにそうですね！BAが固有値-1を持つとしたらABも固有値-1を持つことになるが、ABが固有値-1を持てば、そもそもrank(I-AB)
2021-07-23 20:43
K
Kenji
シンプルで良さそう！
2021-07-23 21:19
u
ume
本当に言われてみればでした！めっちゃスッキリしました！ありがとうございます！
2021-07-23 21:20
K
Kenji
こちらこそ勉強になりました！ありがとうございます。
2021-07-23 21:22
K
Kenji
それと、このコメントはぼくが間違えていたようです。 確かに仮定から、Bx=0とはならないです。
2021-07-23 21:27
u
ume
修正ありがとうございます！
質問ばかりで恐縮なのですが、一般の行列Aに対して、dim Ker(A) = 0であれば、dim Ker(A^t) = 0も成り立つでしょうか？
Ax=0ならば、転置をとって、x^t A^t = 0なので、dim Ker(A^
2021-07-23 21:46
頑
頑張るおっさん
質問失礼します。
2021-07-23 23:15
頑
頑張るおっさん
正規直行基底を作って便利になることとかってなにかあるんですかね？
2021-07-23 23:16
u
ume
@頑張るおっさん
@頑張るおっさん
射影行列とかがもとめられるところとかですかね
2021-07-23 23:18
頑
頑張るおっさん
@ume
@ume なるほどーありがとうございます。
2021-07-23 23:19
頑
頑張るおっさん
それと正規直行基底は大きさが１でそれぞれが直交しているベクトルを作っている感じですよね？
2021-07-23 23:20
h
hal.
次元についての質問です。
2空間の次元の大小は、空間の大小と同値でないようなのですが
その理由が分かる方いたら教えて頂きたいです。
また、その具体例というか(同値でない)反例も挙げて頂けますと嬉しいです。
2021-07-23 23:23
h
hal.
↑上のように先生が仰っていて、あまり理解できなかったので🙇♀️
2021-07-23 23:24
頑
頑張るおっさん
@ume
@ume なるほどありがとうございました。
2021-07-23 23:26
u
ume
@頑張るおっさん
@頑張るおっさん 直行している基底を作ってるイメージでした。私は
2021-07-23 23:26
u
ume
@hal.
@hal. 見当違いなこと言ってたら申し訳ないのですが、3次元と2次元を考えた時に、R3(x,y,z >0),R2(x,y<0)であれば、次元の数で言えば、3>2だけど、包含関係は成り立たないという意味なのでしょうか？
詳しい方の意見を求めたいところです
2021-07-23 23:38
u
ume
すみません、↑の例だと、部分空間の要件満たさないので、なしですね。ごめんなさいわからないです....
2021-07-23 23:40
u
ume
x+y+z=0とx+y+2z=0は次元はともに2ですが、包含関係は成り立たないので反例になってますかね？
2021-07-23 23:42
K
Kenji
成り立ちません。こんな記事を書きました。これを直感的に理解しておくとよいです。 https://qiita.com/kenjihiranabe/items/eadbcae5402d89660e65
2021-07-23 23:49
1
1234@
一度自力で証明した命題の証明を忘れてしまい一からやり直すという羽目に
2021-07-24 00:28
u
ume
ありがとうございます！読まさせていただきます！
2021-07-24 08:01
h
hal.
たしかに反例のように思います！
お返事ありがとうございます！
画像に「だけだと」とあるのですが、もう一つ条件が増えると不等式が成立するということでしょうか？🤔
2021-07-24 10:51
K
Kenji
@ume
一方の基底が全て他方の基底の線形結合で表現できれば、含まれます。 @ume さんの例だと、二つの平面が交わる直線方向の基底は共通で取れますが、もう一本はどうやっても取れないので、一方が他方を含むことはできないです。
2021-07-24 11:05
K
Kenji
「だけだと」の解釈は、次元数の大小だけだと、の意味でしょうね。
2021-07-24 11:07
h
hal.
なるほど。
ありがとうございます🙇♀️
下の式が成り立つことを示しているのですが、解答の下から3行目から2行目(④)の間に何を入れたら示せたことになるでしょうか？
Wλ(A)はAの固有値λにおける広義固有空間です
2021-07-24 11:43
え
えど
変わりますか？
2021-07-24 11:47
え
えど
行列を対角化する際に固有ベクトルから表現行列Pを用意しますが、固有ベクトルを規格化する必要はありますか？
規格化すると何が変わりますかん
2021-07-24 11:47
u
ume
絶対に規格化する必要はないですが、二次形式の標準形への変換の際に、実対称行列を対角化して、変換行列を得る際に、規格化しておくと変換行列が直交行列になるので、変換がスムーズに行く気がします。
2021-07-24 11:51
K
Kenji
わ、思ったより難しい問題解いてたんですね！この情報があれば、よりいいアドバイスができます。
2021-07-24 11:52
h
hal.
助かります😭🙏🏻
2021-07-24 11:53
K
Kenji
それぞれが直和になっている(独立している)ことを言わないといけません。さっきの平面の例だと、交わりの1次元がダブってしまいます。一般に dim U + dim W = dim (U + W) - dim (U∩W) なので、U∩Wが{0}以外に存在すると、
2021-07-24 12:09
K
Kenji
なので、お探しの足らない条件は、各広義固有空間の独立性です。
2021-07-24 12:11
K
Kenji
◯の中に+を書いた記号を使った時点で、そのことを含めて言っていると思うのですが、踏み込んで、それも示せと。
2021-07-24 12:12
K
Kenji
もしくは、一言書けと。
2021-07-24 12:18
h
hal.
@Kenji
@Kenji なるほど！！！
とてもよく分かりました！！✨
分かりやすい説明をありがとうございます🙇♀️
2021-07-24 12:29
え
えど
ありがとうございす。たしかに、規格化されていると固有値がスッと出てきてくれました！
2021-07-24 12:30
頑
頑張るおっさん
教えていただけるとありがたいです
2021-07-24 14:06
頑
頑張るおっさん
2番のAのk乗の形ににあった解き方がわかりません
2021-07-24 14:06
u
ume
@頑張るおっさん
@頑張るおっさん
2021-07-24 14:28
u
ume
2番が分からないという事でしょうか？
2021-07-24 14:28
頑
頑張るおっさん
@ume
@ume 出来ればお願いします。
2021-07-24 14:29
頑
頑張るおっさん
はい
2021-07-24 14:29
u
ume
解いてみますね〜
2021-07-24 14:29
u
ume
@頑張るおっさん
@頑張るおっさん こんな感じでどうでしょうか？
2021-07-24 14:34
頑
頑張るおっさん
あーなるほどかけて分解したらよかったんですか！！ありがとうございます😭
2021-07-24 14:37
頑
頑張るおっさん
すいませんさっきの問題の(3)はこれであってますかね？
2021-07-24 14:45
u
ume
検算は自信ないですね笑
https://ja.wolframalpha.com/examples/mathematics/algebra/matrices/
このようなツールがたくさんあるので、ご自身で試されることをおすすめします！
2021-07-24 15:08
頑
頑張るおっさん
すいませんありがとうございます。
2021-07-24 15:12
え
えど
グラムシュミットの正規直行化について質問です。
複素数が入る場合、内積を取るときに共役を考えますが、この場合どちらが正しいですか？
2021-07-24 16:11
え
えど
1-i の方を選ぶと、(私の計算が間違ってなければ)直交してくれないので、1+i の方が正しいっぽいのですが、なぜか分かりません…。
2021-07-24 16:13
u
ume
被せて質問すみません。
この(2)なんですが、rankA = rank[A|b]ならば、最小値は0なのはわかるのですが、
rankA = rank[A|b]が成り立たない場合の最小値ってどうなりますか？
2021-07-24 17:47
u
ume
正確には最小値を与えるxです
2021-07-24 17:49
数
数学苦手
四角で囲った命題の証明合ってますか？
20:45 マキシマム槙島が参加しました。
2021-07-24 18:02
K
Kenji
この問題、MITっぽいですね！
2021-07-24 21:11
ふ
ふりゅん
マサチューセッツじゃないですか？
2021-07-24 21:12
u
ume
MITってなんですか？
2021-07-24 21:12
u
ume
あ、え、そうなんですね！
2021-07-24 21:13
u
ume
MITの問題、英語で検索してみて似たの引っかかるか試してみます！ありがとうございます！
2021-07-24 21:14
u
ume
@Kenji
@Kenji さんのおっしゃったMITというのはストラングの教科書に乗ってる問題っぽいという意味ではないですよね？笑
2021-07-24 21:15
K
Kenji
そう言う意味ですw
2021-07-24 22:47
u
ume
笑なるほど！明日図書館にいって、探してみます！
2021-07-25 07:10
K
Kenji
転置の書き方、用語、テーマ設定、どれをとってもフランス的でなくアメリカ的！
2021-07-25 07:41
u
ume
そう言われてみれば年によって行列の置き方とか、バラバラだったので、作問者が参考にしてる可能性高いです笑！
09:30 あかねが参加しました。
2021-07-25 08:47
あ
あかね
この問題教えてください！
出来なくて困ってます🙇♂️
2021-07-25 09:30
u
ume
の定義ってなんですか？
2021-07-25 09:37
u
ume
φA
09:37 umeがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-25 09:37
2
20111
固有多項式？
12:00 Hiddが参加しました。
2021-07-25 11:07
数
数学苦手
固有多項式やない？
2021-07-25 13:31
数
数学苦手
(2)は明らかにケーリーハミルトンやろ
2021-07-25 13:32
あ
あかね
答えまで教えていただけるとありがたいです🙇♀️
2021-07-25 13:54
u
ume
@あかね
@あかね
2021-07-25 13:58
u
ume
内積の定義はどちらでも良かった気がします。
2021-07-25 14:02
u
ume
全然わかってないのですが、複素ベクトルの直交って内積0と同値なのでしょうか
2021-07-25 14:02
あ
あかね
@ume
@ume ありがとうございます
2021-07-25 14:06
え
えど
@ume
@ume どうやら内積の定義の仕方に2種類あるみたいで、それを混同してしまっていたみたいです。
2021-07-25 14:17
K
Kenji
A^T Aが正則だから、n≧mでかつAのm本の列ベクトルは線形独立です。この場合、Ax=bは縦長Aの過剰決定問題で、解はありません。でも、エラー|Ax-b|を最小にするxはあり、その場合(Ax-b)^T(Ax-b) を最小にするxを計算をすると、もっとも良
2021-07-25 15:15
K
Kenji
この質問に答えると、A^T A が正則という条件から、rank[A]≦rank[A|b]で、ラッキーでない限りほとんど等号は不成立です。
2021-07-25 15:23
K
Kenji
次にRが正定直対称であることから、√R を考えることができるのですが、その先はここまで理解できてからです。
2021-07-25 15:30
u
ume
ありがとうございます！|Ax-b|=0はほとんど成り立たないということはわかりました！また、
|Ax-b|を最小にするxの求め方は、スカラーのベクトル微分を用いますか？その場合、極小である(=最小である)ことはヘッセ行列で判定できるでしょうか？ここの最小
2021-07-25 19:11
マ
マキシマム槙島
これのベクトルの組は，一次独立か一次従属かを調べて，一次従属の場合は自明でない関係式を見出せ。
と言う問題なのですが、どなたかやり方を教えてください。
2021-07-25 19:11
u
ume
の最小値をもとめることができるということですね！？（歪んだ空間というのは、Qがかかっているということでしょうか）
2021-07-25 19:12
頑
頑張るおっさん
すいませんこの問題の⑶の解き方を教えていただけるとありがたいです
2021-07-25 19:15
t
tK
@マキシマム槙島
@マキシマム槙島 この4つのベクトルを並べた行列の階数を調べるといいです！
4つなので、rankが4なら互いに一次独立です
2021-07-25 19:15
t
tK
@頑張るおっさん
@頑張るおっさん ヒントの物は求められましたか？
2021-07-25 19:17
頑
頑張るおっさん
それぞれx、y、z＝１/3のベクトルになったんですがそこからが何をすればいいのかわかりません
2021-07-25 19:20
K
Kenji
すべておっしゃる通りです。微分もありですが、射影が直感的です。a1,..am の張る平面に、bを正射影したときの足p、足の長さ(p-b)がエラーです(これを最小化)。p=A x_hat (a1..amの線形結合, x_hat が最適なxの近似)と書けるので
2021-07-25 19:31
t
tK
@頑張るおっさん
@頑張るおっさん
(f(e1),f(e2),f(e3))=A
としたら、
右辺を式変形して、(e1,e2,e3)Bを作ってあげます
このBがもとめたいものです
2021-07-25 19:32
K
Kenji
Q=√R です。
2021-07-25 19:33
u
ume
ありがとうございます！射影行列ですか!!!!
理解力足りなくて,ちょっと絵を書いて理解してみます(T_T)!
2021-07-25 19:35
u
ume
あ、AxがAの線形独立な列ベクトルの線形結合(係数はxの各成分)だから、Axとbの2つのベクトルの差が最も小さくなるときが、求めるべきxというところまでは理解できました..
2021-07-25 19:40
u
ume
確かに、正射影の時が最小とわかったのですが、
P－bがエラーの「最小値」(エラーそのものではなく)
では無いでしょうかる
2021-07-25 19:46
u
ume
つまり、問題としては、√RAの線形独立なベクトルが張る空間へのbの正射影が、√RAxとなるような、xを求めればいいということでしょうか
2021-07-25 19:49
u
ume
ここから先が進めないです(T＿T)
2021-07-25 20:04
K
Kenji
はい！その通りです。
2021-07-25 20:21
K
Kenji
@ume
@ume 自分の復習をかねて描いてみました。
2021-07-25 20:29
K
Kenji
to-ume.mp4
2021-07-25 20:30
K
Kenji
to-ume.png
2021-07-25 20:31
u
ume
うぉぉお、めっちゃ丁寧にありがとうございます！熟読させていただきます！
2021-07-25 20:33
u
ume
この2つめの同値記号の意味がわからないのですが、一番右の等式はA＾Tx(p-b)=0でない理由はなぜでしょうか？
2021-07-25 20:36
K
Kenji
|√RAx―√Rb| の最小化になりますね。
2021-07-25 20:39
頑
頑張るおっさん
ということは今回ではBはすべてが1/3の3×３の正方行列でいいんですかね？
2021-07-25 20:40
K
Kenji
それでもよいです。Axと直行なので全てのa1~anと直行と言えますよね?書き下すと、A^T(p-b)= 0です。
2021-07-25 20:45
t
tK
そういう事ではなさそうですね。
恐らく単位行列をIとするなら、1/3Iとなると思います
2021-07-25 20:48
マ
マキシマム槙島
@tK
@tK rankが3になったので、一次従属と言うことですね。ありがとうございます。
関係式はどう導けば良いでしょうか？
2021-07-25 20:49
t
tK
@マキシマム槙島
@マキシマム槙島 どれがひとつについてほかの3つで表されるということなので、ここは方程式を解くくらいでしょうか。3つのベクトルを持ってきた時にこれを係数行列とする連立方程式です
2021-07-25 20:52
マ
マキシマム槙島
@tK
@tK わかりました！ありがとうございます！
2021-07-25 20:55
u
ume
あ、Axがa1~a0の線形結合だから、結局その形に落ち着くのですね！完全に理解しました！ありがとうございます！
最適化問題が幾何的な話で理解できて本当に感動しました！お忙しい中お時間いただき本当にありがとうございました！
2021-07-25 21:16
K
Kenji
よかったです！このあたりストラング先生の初心者向け解説の真骨頂ですので、紹介できてよかったです。
2021-07-25 21:19
頑
頑張るおっさん
ありがとうございました
2021-07-25 23:13
頑
頑張るおっさん
あ,,,ほんとっすねF（E1）＝（１/３，０，０）になってそんな感じで求めていったら１/3 Iになりますね。@tK
2021-07-25 23:13
K
Kenji
@ume
@ume 微分の考察と全体の方針をメモしました。
2021-07-25 23:29
K
Kenji
to~ume2.png
2021-07-25 23:30
K
Kenji
to-ume.png
2021-07-25 23:30
u
ume
@Kenji
@Kenji
ありがとうございます！読まさせてもらいます！
20:14 頑張るおっさんがメッセージの送信を取り消しました
20:17 頑張るおっさんがメッセージの送信を取り消しました
20:18 頑張るおっさんがメッセージの送信を取り消しました
2021-07-26 08:34
h
hal.
単位行列以外で固有多項式が(x-1)^2となる例が分からないのですが、思いつく方いらっしゃいますか？
2021-07-27 12:18
K
Kenji
[1 1
0 1] とか？
2021-07-27 12:28
h
hal.
@Kenji
確かにそうですね！
@Kenji さん、いつもありがとうございます🙇♀️
2021-07-27 12:32
マ
マキシマム槙島
3 -5
0 2
の固有ベクトルを求める問題があるのですが、固有値2に属する固有ベクトルを求める時、
[０ 5 [x. [0
0 1] y ]= 0]
となって固有ベクトルが0になるってしまうんですが、どうすればいいか
2021-07-27 17:04
u
ume
固有値が2なら
2021-07-27 17:31
u
ume
左上のところって、0ではなくて、3－2＝1ではないですか？
2021-07-27 17:31
u
ume
あ、3の時ですねすみません
2021-07-27 17:35
u
ume
計算サイトに投げてみたら、固有ベクトル＝［ 1 0］
2021-07-27 17:42
u
ume
になりますね
2021-07-27 17:43
E
Ethanedi
固有ベクトルを求める計算が間違っているようですね
（そもそも、間違っているのが分かってて、どうしたらいいか質問してるのでしょうし…当たり前か）
愚直に固有ベクトルを求める行列の積を計算してみるといいと思います
「固有ベクトルが0ベクトル（x=0
2021-07-27 17:52
u
ume
@マキシマム槙島
これなんですが、僕の方でもやってみたのですが、固有値3の時、
@マキシマム槙島 さんの仰るように、固有ベクトルを[x1,x2]とおいて愚直に計算してみたところ、x1=x2=0となってしまいました。
2021-07-27 18:58
E
Ethanedi
x2=0しか出てこないと思います
係数行列の1列目（x1の係数にあたるところ）が0なので、そもそも方程式にx1は現れないです
2021-07-27 19:01
u
ume
Ax=λxの右辺です。
2021-07-27 19:04
u
ume
右辺にx1がでてこないですか？
2021-07-27 19:04
u
ume
あ、ほんとうですね。
2021-07-27 19:06
u
ume
x2=0のみで、固有ベクトルがx1任意、x2=0になりました
22:07 jdmが参加しました。
2021-07-27 19:07
j
jdm
15番教えてもらえませんか？
2021-07-27 22:08
K
Kenji
l1,l2の方向ベクトルのどちらにも直交するベクトルがあり、それが求める平面の法線ベクトルになります。その法線ベクトルで(-1,6,-9)を通る平面が答えです。
2021-07-27 22:13
j
jdm
とけました
2021-07-27 22:44
j
jdm
ありがとうございます
2021-07-27 22:44
j
jdm
教えてください
23:02 🏔🌙が参加しました。
2021-07-27 22:49
j
jdm
すいませんもう一個
2021-07-27 22:49
🏔
🏔🌙
どなたかこの問題、教えて頂けませんか？
2021-07-27 23:04
🏔
🏔🌙
クラメールの公式については検索してみますが、どうかお願いします
2021-07-27 23:06
🏔
🏔🌙
すみません、線形代数を学び始めて3ヶ月程ですので、実際に解いてみて頂けないでしょうか🙇♂️
2021-07-27 23:06
ふ
ふれっしゅまん__けん
クラメールの公式で解けば証明になるんじゃないですか？？
2021-07-27 23:06
🏔
🏔🌙
@ふれっしゅまん__けん
@ふれっしゅまん__けん
2021-07-27 23:08
🏔
🏔🌙
大丈夫です！お手数ですがお願いします🤲
2021-07-27 23:08
ふ
ふれっしゅまん__けん
なるほどです笑
今外なので、23時30分過ぎになると思いますがよろしいですか？
2021-07-27 23:08
🏔
🏔🌙
それと、この問題の解答はこれで合っていますでしょうか？
2021-07-27 23:09
ふ
ふれっしゅまん__けん
🙆了解です
2021-07-27 23:09
ふ
ふれっしゅまん__けん
それほど数学が得意では無いのでなんとも言えませんがww
2021-07-27 23:15
ふ
ふれっしゅまん__けん
合ってるのではないでしょうか
2021-07-27 23:15
ふ
ふれっしゅまん__けん
僕も今年から大学生で初めて線形代数に触れるので、宜しければどなたかこちら正しいか確認お願いしたいです🙏🙏
2021-07-27 23:27
🏔
🏔🌙
具体的にはどうすれば良いですか？教えて頂きたいです
2021-07-27 23:46
高
高木
存在性のほうも証明しないとですね．
2021-07-27 23:46
🏔
🏔🌙
解答を示して頂けると尚ありがたいです
2021-07-27 23:47
高
高木
課題のように見えるので解答を示すことはしませんが，「曲線が3点を通る」ことから得られる3本の方程式を行列を用いて書いてみてください．
2021-07-27 23:52
高
高木
その行列が正則であることを言えば存在と一意性が同時に示せるはずです．
2021-07-27 23:53
🏔
🏔🌙
@高木
@高木 なるほど…
2021-07-27 23:54
🏔
🏔🌙
@高木
やっぱりよくわかりません…もう少しヒントを頂けませんか @高木
2021-07-27 23:57
🏔
🏔🌙
曲線が3点を通ることから得られる3本の方程式…？
2021-07-27 23:57
高
高木
3点(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)を通る曲線が存在するための必要十分条件が3本の連立方程式で書けますよね．
2021-07-28 00:06
🏔
🏔🌙
@高木
この場合では、y=a0+a1x+a2x^2に3点の座標を代入してできる3本の方程式のことですかね？ @高木
2021-07-28 00:08
高
高木
そうです．
2021-07-28 00:09
🏔
🏔🌙
@高木
@高木 ちなみに、大問6については何かお教え頂けないでしょうか？
2021-07-28 00:10
🏔
🏔🌙
ありがとうございます！
2021-07-28 00:10
🏔
🏔🌙
了解しました、やってみます
2021-07-28 00:10
🏔
🏔🌙
(α1,β1),(α2,β2),(α3,β3)を代入すればよいのですね
2021-07-28 00:10
🏔
🏔🌙
大問6はこれを利用して証明するのだと思うのですが…
2021-07-28 00:11
🏔
🏔🌙
授業スライドを振り返ったところ、クラメールの公式への言及はなかったので、
2021-07-28 00:11
高
高木
左辺をA(x_1,x_2,x_3)^Tとみて両辺にA^{-1}を掛ければ良いです（Aが正則であることは仮定されていますね）
2021-07-28 00:15
🏔
🏔🌙
Tとはなんですか？それと、
A^｛-1｝はAの逆行列ということですか？
2021-07-28 00:17
高
高木
転置と逆行列です．（本当は縦ベクトルで書くべきですがLINEのテキストなので横ベクトルの転置で書かせてもらっています）
2021-07-28 00:19
🏔
🏔🌙
お手数ですが、筆記でもう少し詳しくお願いしたいのです🙇♂️
2021-07-28 00:22
高
高木
もう少し詳しく書いてしまうとほぼ答えなんですよね…
それから，６番に関しては既に回答してくださった方がいるようですよ．
2021-07-28 00:29
🏔
🏔🌙
既にいただいた解答(クラメールの公式の利用)は私たちの学習範囲ではないのでおそらく今回の解答としてはふさわさくないのです🙇♂️
2021-07-28 00:43
🏔
🏔🌙
そこをどうかお願いします🙇♂️
00:44 🏔🌙がメッセージの送信を取り消しました
2021-07-28 00:44
🏔
🏔🌙
私たち→私
2021-07-28 00:44
🏔
🏔🌙
これは友人の解答なのですが、こちらの解答では不正解なのでしょうか？
03:10 bが参加しました。
2021-07-28 00:46
b
b
2×2行列において
a₁₁がn-1通り
a₁₂がn通り
a₂₁は1通り
a₂₂がn-1通りのときに行列は何個できますか？
10:52 かああが参加しました。
15:08 Twが参加しました。
18:42 オープチャットが参加しました。
2021-07-28 03:18
u
ume
@b
@b
n(n-1)^2通りだと思います。
2021-07-28 20:00
u
ume
Aの逆行列を両辺左からかければ、解がただ1つに決まることが言えると思います。
写真の解答だと、rank([A|b])がフルランクである理由を述べる必要があることと、フルランク出会った場合、解がただ1つに定まることを述べれていないので不正解もしくは減点を貰
2021-07-28 20:05
🏔
🏔🌙
具体的にやってみてほしいです🙇♂️
2021-07-28 20:09
🏔
🏔🌙
Aの逆行列を左からかけるとは？
2021-07-28 20:09
🏔
🏔🌙
なるほど、参考になります
2021-07-28 20:09
u
ume
Ax=bに左からA^{-1}をかけます
2021-07-28 20:10
u
ume
すると、
Ix=A^{-1}b（Iは単位行列）
よって、
x=A^{-1}bです。
2021-07-28 20:11
🏔
🏔🌙
なるほど！
2021-07-28 20:16
🏔
🏔🌙
A^{-1｝はこの場合どうなりますかね？
2021-07-28 20:17
u
ume
@jdm
@jdm
2021-07-28 20:19
u
ume
それは、分かりませんが、行列が正則と言っているので、逆行列が存在することは明らかです
2021-07-28 20:19
🏔
🏔🌙
そうですよね
2021-07-28 20:27
🏔
🏔🌙
@ume
@ume いえいえ、他の解法も知りたかったので助かりました、ありがとうございます！
2021-07-28 20:32
u
ume
あ、ごめんなさい、事前に色々とやりとりがあったみたいですね。それをすっぽかして、回答していました
2021-07-28 20:32
u
ume
逆行列はこうなるそうです。
2021-07-28 20:33
u
ume
https://risalc.info/src/inverse-cofactor-ex3.html
2021-07-28 20:33
あ
あかね
3番教えてください🙏
お願いします
2021-07-28 20:38
🏔
🏔🌙
ありがとうございます！
2021-07-28 20:40
u
ume
多分(2)が楕円の式になっていると思います。
そして、これは回転行列によるπ/4回転を表しているので、(2)の楕円を-π/4だけ、原点中心で回転させるといいと思います。
2021-07-28 20:47
u
ume
はい。
2021-07-28 20:48
あ
あかね
@ume
@ume 2番解いたらこうなったんですが
2021-07-28 20:48
あ
あかね
@ume
@ume 図、書いて貰うことって可能ですか？
2021-07-28 20:49
u
ume
@あかね
@あかね どうぞ。あと、図とかは、wolframってやつ使うと簡単にかけます
2021-07-28 20:54
u
ume
これを時計回りに45度回転シタモノガ3ですね
22:44 Twがメッセージの送信を取り消しました
22:44 画像
2021-07-28 20:55
u
ume
あ、これ、(2)の図です
2021-07-28 20:55
E
Ethanedi
これどんな問題ですか？
2021-07-28 23:09
T
Tw
‼️
2021-07-28 23:19
T
Tw
すみません、分かりました
2021-07-28 23:19
E
Ethanedi
よかったです🤗
2021-07-28 23:24
K
Kenji
回転変換の問題はいつも、どっちがどっちに回転だっけ？ってなります。ww
2021-07-29 08:11
a
a
全射、単射についての話題です。
図3.1はImf = Y を表しているようですがどうみてもImf ≠ Yではないですか？
この図は何を意味しているのでしょうか？
どなたか解説お願いします。
2021-07-29 11:51
j
jordan
たぶんしたの図3.2のことについていってますね。
2021-07-29 11:53
u
ume
図の説明じゃないですね
2021-07-29 11:54
a
a
あ、、、そういうことでしたか。
ありがとうございます
2021-07-29 11:55
u
ume
ちょっと分かりにくい図ですね笑製本の段階でレイアウト変わってしまったのかもしれないですね笑
2021-07-29 11:56
j
jordan
一応、図3.2 全射とかいてはいますが
2021-07-29 11:58
数
数学苦手
行列の平方根ってどう求めるんですか？
15:57 初心者が参加しました。
2021-07-29 13:07
初
初心者
初心者です
2021-07-29 16:02
初
初心者
これらの解き方がわかる方いらっしゃれば教えて欲しいです
2021-07-29 16:02
初
初心者
問題に分かれているので一つでも分かれば教えてくださるとありがたいです。
2021-07-29 16:03
u
ume
@初心者
@初心者 さん、6は余因子展開という方法で頑張って計算すれば解けます。
https://oguemon.com/study/linear-algebra/cofactor-expansion/
2021-07-29 16:08
u
ume
3は行列式は要素の積和でかけるので、すべての成分が整数であれば、行列式も整数であることと、
det(A*A^(-1))=det(I)=1であることから導けます
2021-07-29 16:10
初
初心者
3x3行列のやり方でもいいですよね？
2021-07-29 16:10
初
初心者
ありがとうございます！
2021-07-29 16:10
u
ume
余因子展開は3x3に限らず任意のサイズの正方行列で使えます
2021-07-29 16:11
初
初心者
そうですね。
2021-07-29 16:12
u
ume
https://oguemon.com/study/linear-algebra/solution/
2021-07-29 16:14
u
ume
５はrankA=rankA~となるようなCをみつければ解けます。
2021-07-29 16:14
初
初心者
すみません、3の説明していただいた三行目がよくわからないです。
2021-07-29 16:15
初
初心者
いえ、助かります
2021-07-29 16:17
初
初心者
ありがとうございます！
2021-07-29 16:17
u
ume
説明不足でした
2021-07-29 16:17
u
ume
あ、はい
2021-07-29 16:17
初
初心者
det(I)のIは単位行列ですか？
2021-07-29 16:17
u
ume
det(A*A^(-1)) = det(A)det(A-1) =1で、整数どうしの掛け算の答えが1になるのって...という感じです
2021-07-29 16:17
u
ume
ぱっと分かるのがこれで、他の問題は手を動かして考えないとわからないです。
考えてみますが、解けなかったらごめんなさい
2021-07-29 16:18
初
初心者
ありがとうございます！
2021-07-29 16:19
初
初心者
なるほど〜
2021-07-29 16:19
初
初心者
3理解しました！
2021-07-29 16:19
u
ume
↑Bが正則ですね
2021-07-29 16:24
u
ume
1番、rank(AB)<=rank(A)(等号成立はAが正則行列なときのみ)を使えば、(A^T)(A)はフルランクでない(つまり正則ではないので行列式0)が言えますが、もっと簡単にも解けそうな気がします。
2021-07-29 16:24
初
初心者
正則でない行列の行列式の値って0なんですか？
2021-07-29 16:25
u
ume
https://manabitimes.jp/math/1327
2021-07-29 16:26
u
ume
↑の記事で解説されているとおりです。
これを使えば4の1も示せますね
2021-07-29 16:27
初
初心者
あ、2番ですか？
2021-07-29 16:32
初
初心者
記事のどの部分で説明されてますか？
2021-07-29 16:32
u
ume
4の(2)は地道に書き下して、detA=0を使えば導けますね
2021-07-29 16:33
初
初心者
見落としてました
2021-07-29 16:33
u
ume
はい。
2021-07-29 16:33
u
ume
(3),(4)は誘導に従うだけです。(2)の結果を使えば示せます。
2021-07-29 16:34
初
初心者
4の問題文のI’m=1,2という部分はどういう意味ですかね？
2021-07-29 16:36
u
ume
あ、なるほど笑
2021-07-29 16:37
初
初心者
という部分です
2021-07-29 16:37
初
初心者
ij=1,2
2021-07-29 16:37
初
初心者
ij=q,w
2021-07-29 16:37
u
ume
問題文にそのような部分を見つけられなかったのですが、具体的にどこをさされていますか？
2021-07-29 16:37
u
ume
つまり(i,j)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)ということです。
2021-07-29 16:38
u
ume
これは、iとjが1と２をとりますよということです。
2021-07-29 16:38
初
初心者
ミスタイプしてしまいました
2021-07-29 16:38
初
初心者
こういう書き方するんですね
2021-07-29 16:39
初
初心者
二次正方行列ということですか
2021-07-29 16:39
u
ume
はい。
2021-07-29 16:41
u
ume
僕も数学苦手ですが、これは慣例としてこういう書き方をするという感じのものでもない気がします(似たような書き方は見ますが)
2021-07-29 16:42
初
初心者
正則のルールのどれを当てはめればいいかわからなかったです
2021-07-29 16:44
初
初心者
すみません、4の(1)の方針を教えてください。
2021-07-29 16:44
u
ume
冪零行列ということは、何乗かしたら、ゼロ行列になるということです。
つまり、A*A*A*A*A*A*A*A.....A=O
両辺行列式を取ってあげると、(detA)^k=0です。
2021-07-29 16:47
初
初心者
簡約して単位行列になるから冪ゼロじゃないと言えばいいですかね？
2021-07-29 16:47
初
初心者
正則ならdetA≠0ですものね
2021-07-29 16:48
u
ume
もしもAが正則ならdetAは....
2021-07-29 16:48
u
ume
Aをk乗したらOとなるとしました。
2021-07-29 16:48
u
ume
矛盾ですね。
2021-07-29 16:49
初
初心者
ありがとうございます！
2021-07-29 16:49
u
ume
はい。
2021-07-29 16:49
u
ume
2,7は力不足で解けなかったです...ごめんなさい
2021-07-29 16:52
u
ume
そうですね。ただ途中で行列式が0の条件を使う必要があります。
2021-07-29 16:54
初
初心者
4(2)は具体的に要素をabcdとおいてできますかね？
2021-07-29 16:54
初
初心者
（４コマ漫画のようにabcdと要素を置いた場合）
2021-07-29 16:56
初
初心者
あ、ad-bc=0とすればいいですかね
2021-07-29 16:56
初
初心者
本当にありがとうございます！
2021-07-29 16:57
u
ume
はい。
2021-07-29 16:57
u
ume
@初心者
いえいえ、すべては解ききれませんでしたが、助けになれば幸いです。僕も色々質問して助けていただいているので、
@初心者 さんもまたどなたかの質問に答えてあげてください。
2021-07-29 16:58
初
初心者
めちゃめちゃ初心者なのでほぼ力になれないですが、できることがあれば力になります。
17:48 なおやが参加しました。
2021-07-29 16:59
ち
ちぎゅたん
失礼します
2021-07-29 18:04
ち
ちぎゅたん
2-1に関する質問です
2021-07-29 18:05
ち
ちぎゅたん
w1,w2は合っているのでしょうか？また、wはどう表せば良いでしょうか？
2021-07-29 18:06
u
ume
w=w1Uw2(結び)ではないでしょうか？
2021-07-29 18:23
ち
ちぎゅたん
@ume
@ume ありがとうございます
2021-07-29 18:51
K
Kenji
[2]行きまーす。b = Σ(a1x1+a2x2+..) を展開して計算すると分かると思います。
2021-07-29 19:00
K
Kenji
[2]行きまーす。b = AΣ(a1x1+a2x2+..) を展開して計算すると分かると思います。
2021-07-29 19:01
K
Kenji
[7]行きまーす。
たくさん可能性があるので、単純な例が作れないか考える。4x4を、2x2にブロック分割して、左上が単位行列、右下がA、そのほかOのパターン。この行列式の値は|A|なので、
A=[1 2
2 1]
としてはどうか。こ
2021-07-29 19:45
K
Kenji
わ！
2021-07-29 19:46
u
ume
すべての成分が1以上の整数なんですよ...
2021-07-29 19:46
u
ume
ブロック行列以外に簡単に行列式が求められるトピックだと、対角行列とかしか思いつかないのですが、どうも....
2021-07-29 19:47
u
ume
そうなんですよね...
2021-07-29 19:47
u
ume
あ、三角行列とかもそうですが、ね...
2021-07-29 19:49
u
ume
対角化できるとして、対角化したあとの対角行列の対角成分は固有値だから、それらの積が-3となるように、固有値を適当に設定して....というふうにはできないですかね。
2021-07-29 19:57
大
大三文系
二次行列X二乗したら2次単位行列になるようなXをすべて求めなさいという問題に関してどなたかヒントをください。お願いします🤲
2021-07-29 20:12
u
ume
@大三文系
@大三文系
因数分解すればいいのではないでしょうか？
A^2 = I
(A-I)(A+I)=O
2021-07-29 20:13
高
高木
この行列に基本変形を繰り返して，全ての成分が１以上になるようにすればOKです．（detは基本変形に関して不変です）
2021-07-29 20:27
高
高木
基本変形というか，「1つの行に他の行を足す」変形です
2021-07-29 20:33
高
高木
（行を定数倍したり行の交換をしたりするとdetは変わってしまうので「基本変形に関して不変」という主張は誤りです．すみません．）
21:25 イカ焼きが参加しました。
2021-07-29 20:37
イ
イカ焼き
よろしくお願いします
2021-07-29 21:26
イ
イカ焼き
基本変形について。行基本変形はわかるのですが、列基本変形をいつ使っていいのかわかりません。連立方程式解くときは使っちゃダメですよね。逆行列求める時はいいのでしょうか？
2021-07-29 21:27
t
tK
@イカ焼き
@イカ焼き 逆行列を求める際の掃出法なら、列基本変形は使えないです。
使えるのは階数を求める時、行列式を求める時などいろいろあります
2021-07-29 21:29
イ
イカ焼き
@tK
@tK ありがとうございます
その判別基準って何かあるのですか？
2021-07-29 21:35
K
Kenji
新しい視点！
2021-07-29 21:37
t
tK
@イカ焼き
@イカ焼き 1つミスがありました、階数を求める時も列基本変形は出来ないです。
判別基準は行基本変形の操作が転置した時にも成立するかという話だと思います
2021-07-29 21:38
イ
イカ焼き
@tK
@tK 了解です
ありがとうございます
2021-07-29 21:40
K
Kenji
@高木
@高木 さんの言われる通りですね。僕の出した回答から、行を適当に足して、0を消せば終了です。
2021-07-29 21:46
つ
つね
あ、ちょうど他の皆さんがもっといい感じの解法出されてました！
2021-07-29 21:49
つ
つね
＠初心者 さんの問7、若干力技ですが頑張りました。
2021-07-29 21:49
s
solvable
行列環は整域でないのでその議論は使えないです…
つまり行列X,Yに対してXY=O(Oは零行列)が成り立つときでも、X,YのどちらもOでないこともあります。
2021-07-29 21:53
s
solvable
行列単位を知っているなら、反例はE_1nの2乗がOになることです。（nは2以上）
2021-07-29 22:00
大
大三文系
計算してみたら
X=E 2次単位行列のみになりましたが、おかしいですか
2021-07-29 22:04
s
solvable
@大三文系
@大三文系 こういう行列も条件を満たします
2021-07-29 22:15
大
大三文系
ありがとうございます。また考えておきます
2021-07-29 22:17
K
Kenji
素晴らしい！
2021-07-29 22:18
K
Kenji
階数は列基本変形を認めますね。
2021-07-29 22:21
つ
つね
ありがとうございます！わーい🙌
2021-07-29 22:23
大
大三文系
こんなかんじなのでしょうか
2021-07-29 22:37
s
solvable
@大三文系
@大三文系 はい
2021-07-29 22:46
大
大三文系
ありがとうございました
22:57 すずが参加しました。
2021-07-29 22:47
す
すず
すみません、この線形代数の問題、わからないのですが、ヒントや(1)だけ、とか、流れとか触りだけでも助言頂けないでしょうか？
2021-07-29 22:58
s
solvable
@すず
@すず (1)はJの要素数で場合分けして求めていくのが良いと思います。
23:31 すいかが参加しました。
2021-07-29 23:10
u
ume
@大三文系
！！ありがとうございます！
@大三文系 さん、ご指摘の通りですので、そちら参考にされてください！
2021-07-30 08:25
K
Kenji
行基本変形で、階段行列にします。この変形で列空間は変化しますが、(列番号対応は変わりません)。すると、ピボット列と、それらと交換可能な自由列に分かれます。あとは組み合わせを考えます。
10:43 ∞が参加しました。
2021-07-30 09:47
す
すず
ありがとうございます！
2021-07-30 10:43
∞
∞
初歩的なことなのですが、BとCはどういったものを表しているのか教えてください……
2021-07-30 10:45
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